Home
  Relativitätstheorie
  Andere Theorien
  Erben
     Vereinigung der Kräfte
     Massenoperator
     CKM-Matrix
  Physikartikel
  Spaßartikel
  Dies und das
  Links
  Rechtliches
  Impressum
  Datenschutz

Ich habe diese Thema noch einmal überarbeitet,von Formelfehlern befreit und in ein PDF-Dokument zusammengefasst. Sie können es

hier

finden.

Wenn man schon über bestehende Theorien meckert, sollte man wenigsten einen alternativen Vorschlag präsentieren können. In meiner jahrelangen teils uni-bezogenen, teils privaten Auseinandersetzung mit den Wechselwirkungen und Elementarteilchen habe ich folgende Überlegungen zusammengetragen, die ihren Ursprung in diesen bis heute offenen Fragen hatten:

1) Wie kann man die Ruhemasse der Elementarteilchen erklären?
2) Wie lässt sich die Gravitation in das Theoriegebäude der anderen Wechselwirkungen einbetten?
3) Wieso existiert keine elementare Spin-0-Wechselwirkung?

Zu Punkt 1: Es ist erst einmal von elementarer Bedeutung, zu klären, was ein Elementarteilchen überhaupt ist. Nach heutigem Stand des Wissens sind dies die Leptonen (Elektron, Myon, Tauon + entsprechende Neutrinos) und die Quarks. Unter elementar könnte man „nicht weiter teilbar“ verstehen, also das Fehlen einer inneren Struktur, wie es z.B. bei den Nukleonen der Fall ist.

Zu Punkt 2: Darauf werde ich auch keine befriedigende Antwort liefern können. Ich kann nur ein der Allgemeinen Relativitätstheorie und der Quantentheorie gemeinsames mathematisches Prinzip zur Auffindung der Feldgleichungen (z.B. Einsteins Feldgleichungen, oder die Maxwellgleichungen => Elektromagnetische Wechselwirkung) präsentieren.

Zu Punkt 3: Das Graviton (Gravitationsquant) besitzt den Spin 2, das Photon (Lichtquant), die Gluonen (Feldquanten der starken Wechselwirkung) und die W^± und Z-Bosonen (Feldquanten der Schwachen Wechselwirkung) besitzen den Spin 1. Wo bleibt ein elementares Spin-0-Feldquant? Es existiert derzeit in den Theoriebüchern ein vor Willkür strotzendes Higgs-Feld, welches den Spin 0 besitzen soll und für die Massengenerierung der Elementarteilchen verantwortlich gemacht wird. Es wurde bis heute nicht nachgewiesen.

Meine Idee beruht nicht auf einer Erweiterung des vierdimensionalen Raum-Zeit-Kontinuums, so wie es in der Kaluza-Klein- oder String-Theorie der Fall ist. Ich verzichte auf ein unnötiges Aufblähen der Dimensionen und versuche vielmehr, die Erkenntnisse der Relativitätstheorie zu erweitern, bzw. auszuschöpfen. Dazu erinnern wir uns an die Kapitel „Bewegungsgleichung im Gravitationsfeld (Geodäten)“ und „Die Einsteinschen Feldgleichungen“. Dort gelangten wir durch Differentiation einer invarianten skalaren Funktion zu Tensoren höherer Stufe, also z.B.

Der Kurvenparameter wird in der Relativitätstheorie oft als Eigenzeit bezeichnet. In der Differentialgeometrie ist er jedoch nicht näher spezifiziert, außer, dass ein invarianter Parameter ist. Bei den Differentialen unterscheide ich weiterhin zwischen einem „d“ und einem “. Mit einem „d“ meine ich das totale Differential mit einem „“ die partielle Ableitung. Es wird hoffentlich gleich klar werden, was ich meine. Der Knackpunkt ist der: In der Relativitätstheorie wird davon ausgegangen, dass die Funktion nur von den Viererkoordinaten abhängen darf. Was aber, wenn man der Funktion ein wenig mehr Freiheiten einräumt? Wir machen daher den folgenden Ansatz:

Man muss schon scharf hinsehen, um den Unterschied feststellen zu können. Wir verlangen einfach nur, dass auch explizit von dem Kurvenparameter abhängen darf. Bilden wir nun die totale Ableitung (fürchterliches Wort):

Es taucht ein zusätzlicher Ableitungsterm nach dem Kurvenparameter auf. Ich gebe zu, das ist noch nicht besonders aufregend. Werfen wir jetzt einen Blick auf die Quantenmechanik, um ein wenig mehr an Klarheit zu gewinnen. Dort werden Energie- und Impuls, zusammengefasst zum Viererimpuls

und quantisiert, d.h. der Viererimpuls wird durch die Viererableitung ersetzt. Die Ruhemasse m eines Teilchens geht weiterhin als freier Parameter ein:

->

m -> m

Zu den quantenmechanischen Bewegungsgleichungen gelangt man nun (etwas unsauber aber dafür schnell, wenn man den vierdimensionalen Impulsoperator in einen skalaren Raum abbildet, nämlich auf die Ruhemasse, also z.B. (Anmerkung: die Lichtgeschwindigkeit c und das Wirkungsquantum werden 1 gesetzt)

(Diracgleichung)

(Klein-Gordon-Gleichung)

Dieses „Abbildungsprinzip“ kommt einem doch sehr bekannt vor. Schauen wir noch einmal zurück auf das Wegelement:

Wenn wir unseren Kurvenparameter wieder mit der Eigenzeit identifizieren, haben wir unser Wegelement einfach in einem anderen Koordinatensystem dargestellt, nämlich einem Inertialsystem, oder wenn man so will, dem Ruhesystem eines Teilchens. Man hantiert in der Relativitätstheorie, aber auch in der Quantentheorie immer mit zwei Koordinatensystemen. Das eine ist das Ruhesystem des Teilchens und das andere ein relativ zu diesem bewegtes Koordinatensystem. Die Dirac- oder Klein-Gordon-Gleichung beinhalten dieselbe Vorgehensweise wie beim Wegelement. Doch jetzt kommt der neue Gedanke. Schauen wir noch einmal auf

Der Impulsoperator taucht auf der rechten Seite auf. Wir wollen die Ableitung von nach dem Kurvenparameter als Massenoperator identifizieren. Wir gelangen so zu den verallgemeinerten quantenmechanischen Bewegungsgleichungen:

-> : Viererimpulsoperator

m -> : Massenoperator

: Diracgleichung

: Klein-Gordon-Gleichung

Das ist im Grunde schon alles. Womit wir uns jetzt noch beschäftigen müssen, sind die Konsequenzen, die sich aus diesem Ansatz ergeben. Die Quantisierung der Ruhemasse lässt vermuten, dass sich ein Eigenwertspektrum für die Elementarteilchen gewinnen lassen kann. Dazu mehr sehr viel später. Zunächt müssen wir zeigen, dass die altbekannten quantenmechanischen Bewegungsgleichungen in den „neuen“, verallgemeinerten enthalten sind. Nehmen wir uns die Klein-Gordon-Gleichung vor und machen den Ansatz:

dann folgt

Wir erhalten nach Abspaltung der -Abhängigkeit also die gute alte Klein-Gordon-Gleichung. Gleiches kann man für die verallgemeinerte Dirac-Gleichung zeigen. Das war kein Kunststück. Die Separation der Masse gelingt auch nur deshalb, weil keine -abhängigen Terme in die Bewegungsgleichung mit eingehen. Das ändert sich natürlich, wenn -abhängige Wechselwirkungsterme mit einbezogen werden müssen. In der Quantentheorie gelangt man, gezwungener Maßen, zu den Wechselwirkungen, wenn man lokale Eichtransformationen zulässt, also

Man beachte, dass bei den quantenmechanischen Wellenfunktionen die Viererkoordinaten natürlich nicht mehr von dem Kurvenparameter abhängen. Die Eichtransformation hat zur Folge, dass eine Wechselwirkung erforderlich ist, damit die quantenmechanischen Bewegungsgleichungen weiterhin invariant gegenüber den Eichtransformationen bleiben. Man muss die Impulsoperatoren modifizieren, in dem man eine „kovariante“ Ableitung einführt (kovariant aber nicht im Sinne der Relativitätstheorie). Das Transformationspaket muss demnach vollständig so lauten:

Die Abhängigkeit der Phasenfunktion von erfordert die Einführung einer skalaren (Spin-0) Funktion . Bleibt nur noch zu zeigen, dass die Bewegungsgleichungen für das Viererpotential und die skalare Funktion invariant gegenüber den obigen Transformationen sind. Dazu bemühen wir uns der altbekannten Kommutatortechnik, dabei gilt ab jetzt:

also

Man sieht z.B. sehr leicht an dem Feldstärketensor , dass dieser invariant unter obigen Transformationen ist, denn

Ich habe weiter oben ein gemeinsames mathematisches Prinzip zum Auffinden der Bewegungsgleichungen der verschiedenen Wechselwirkungen versprochen. An dieser Stelle möchte ich das Versprechen einlösen. Es ist nicht ganz einzusehen, wie man mit Hilfe der Kommutatortechnik auf die Einsteinschen Feldgleichungen kommen kann. Wie im Kapitel „Bewegungsgleichung im Gravitationsfeld (Geodäten)“ gezeigt kann man die Ableitung der Basisvektoren mit Hilfe der Christoffelsymbole wieder auf die Basisvektoren selbst zurückführen:

Wenden wir also den Kommutator auf die Basisvektoren an (bitte die Zwischenschritte selber nachrechnen):

ist der Riemannsche Krümmungstensor, aus dem sich die Einsteinschen Feldgleichungen ableiten lassen. Doch zurück zu dem neuen Feldstärketensor . Da Ableitungen nach dem Kurvenparameter etwas mit der Masse eines Feldes oder Teilchen zu tun haben, müssen Wir die Bewgungsgleichungen für das Vierrepotential und das skalare Potential finden. üblicherweise bastelt man sich eine Lagrangedichte L zurecht und erhält die gesuchten Gleichungen mit Hilfe der Euler-Lagrange-Gleichnungen. Der Konstruktion der Lagrangedichte haftet ein wenig Willkür an. Wir wollen uns zur Randbedingung machen, dass sich als Grenzfall die (freien) Maxwellgleichungen ergeben. Wir machen folgenden Ansatz

Für das Viererpotential lauten die Euler-Lagrangegleichungen z.B.

Mit

ergibt sich

und

Mit Hilfe der Eichbedingung

lassen sich die beiden Gleichungen entkoppeln

Wir wollen folgende Fälle unterscheiden:

   (1)

   (2)

   (3)

   (4)

Kommen wir, ohne Luft zu holen, zu Fall 1) . Werfen wir zunächst einen Blick auf die Eichbedingung. Wenn kein skalares Potential vorhanden ist, reduziert sich die Eichbedingung auf

Das ist die bekannte Lorentzeichung. Mit den Maxwellgleichungen

Wir wissen aus dem Experiment, dass die Photonen masselos oder nahezu masselos sind. Masselosigkeit bedeutet aber eine -Unabhängigkeit des Viererpotentials. Die anderen Fälle werde ich zu einem späteren Zeitpunkt diskutieren.