Einsteins-Erben Forum - Alle Foren

Fehl-Registrierungen

Sun, 25 Jul 2010 08:31:22 +0200

Liebe Einsteins-Erben-Foren-Fans,

in vielen Foren, wie auch im Einsteins-Erben-Foren, gibt es Anmeldungen von Usern, die nicht wirklich am Forum interessiert sind, bzw. die Foren als Oberfläche versuchen zu nutzen, um SPAM-Mails zu verschicken. Auch wird die tatsächliche Zahl der Forenanmeldungen so verfälscht.

Ich habe mir deshalb folgende Regelung ausgedacht. User, die NIE einen Beitrag im Forum geschrieben haben UND mehr als 3 Monate inaktiv waren, werden von mir ab August gelöscht.

Wenn Ihr anderer Meinung seid oder Eure Meinung zu diesem Thema äußern wollt, schreibt es bitte hier!

Vielen Dank an Euch.

Gruß Boris

Einstein-Geschwindigkeits-Additions-Formel bei Lorentz-Transformation

Sun, 13 Jun 2010 17:15:12 +0200

Wie kommt man auf die Geschwindigkeits-Additions Formel?

Hier ist meine Herleitung

"natürliche Einheiten"

Tue, 25 May 2010 13:41:48 +0200

Ich habe gemerkt das in der theoretische Physik mit "natürliche Einheiten" gerechnet also:

Das bedeutet:
1) .
Die Zeit Einheit ist [Länge].

2) .
Die Energie Einheit ist [1/Zeit] .

3) .
Die Temperatur Einheit ist [1/Zeit].

4) .
Die Masse Einheit ist [1/Zeit]

Frage :Was ist z.B. die Kraft Einheit?
aus folgt:
.
ist das die Krafteinheit?
Wie bringe ich die "Physik" wieder in Ordnung c=300000 usw?

Es wird auch oft mit "Plack-Einheiten" gerechnet
Wie ist dann die Vorgehensweise?

Positive / Negative Krümmung

Fri, 05 Feb 2010 00:30:41 +0100

Hallo, Ich bins mal wieder,
ich hätte da mal eine Frage, da ich ja selbst leider nicht wirklich mathematisch die ART durchdringen kann und es mir selbst nich anschauen kann aber trotzdem:

Es gibt ja die schöne Veranschaulichung einer 2 dimensionalen Raum-Ebene die sich dann krümmt in Anwesenheit von Materie. z.B Erde krümmt den Raum, Satellit führt eine gleichmäßig geradlinige Bewegung durch, und wird durch den Gravitationstrichter in eine Umlaufbahn gezwungen.

Allerdings ist mir klar das die ART ja nicht wirklich eine Ebene beschreibt sondern per Metrik halt nicht nur 2 Dimensional Arbeitet und das nur eine Illustration ist.

Aber nimmt man diese 2 Dimensionale Ebene dann krümmt sich doch z.B der Raum positiv ODER negativ! in einem Fall währe ja dann Anziehung im anderen Fall währe es ja Abstoßung! da sich ja das Vorzeichen umkehrt.. oder ja vielleicht Besser ausgedrückt in ein Loch würde man Fallen da man schon ein gewisses Potential hat, um einen Berg zu besteigen muss man ja erstmal Energie aufwenden

Nun meine Frage existiert soetwas in den normalen Gleichungen der ART? Im Prinzip währe das doch dann soetwas wie Materie?

LG Terra

Mathematisches Pendel

Mon, 18 Jan 2010 17:04:55 +0100

Ich möchte hier kurz das mathematische Pendel behandeln. Wozu dieses scheinbar langweilige Experiment? Man kann mit Hilfe einfachster Mittel (Stoppuhr, Zentimetermaß, Faden und einer Kugel) die Erdbeschleunigung experimentell bestimmen. Die Erdbeschleunigung wiederum beinhaltet u.a. die Gravitationskonstante, so dass ein Brückenschlag zur Allgemeinen Relativitätstheorie gesehen werden kann.

Was ist ein mathematisches Pendel? Wie so oft in der Physik ist es ein hochidealisiertes Experiment, was aber durchaus zu sinnvollen, brauchbaren Ergebnissen führt. Die Bedingungen an das mathematische Pendel sind:

Die gesamte Masse des Pendels ist in einem Punkt konzentriert, die Fadenmasse wird vernachlässigt.

Und natürlich pendelt alles völlig reibungsfrei.

Wir wollen nun die Bewegungsgleichung der Kugel (des Massenpunktes) über die konstante Gesamtenergie herleiten, welche sich aus kinetischer und potentieller Energie zusammensetzt:

Dabei ist m die Masse des Pendels, v die Geschwindigkeit der Kugel und h die Höhe über dem Ruhepunkt, welcher gleichzeitig der Nullpunkt des Koordinatensystems ist. Wie in der Abbildung zu sehen, greift die Gravitationskraft im Mittelpunkt der Kugel an und die Fadenlänge L geht vom Aufhängungspunkt (obere y-Achse) bis zum Kugelmittelpunkt (das muss im Experiment mit berücksichtigt werden, da der Faden am Kugelrand befestigt ist, d.h. die mathematische Fadenlänge L ist die echte Fadenlänge + Kugelradius).

Es bietet sich aufgrund der Kreissymmetrie an, Polarkoordinaten zu verwenden (in diesem Falle lässt sich alles über den Winkel und der Fadenlänge L ausdrücken). Mittels der Abbildung kann man folgende Zusammenhänge erkennen.

Die Geschwindigkeit lässt sich nun als Summe von x- und y-Komponente schreiben:

Für kleine Winkel (man darf das Pendel also nicht zu weit ausschlagen lassen) kann man den Kosinus nähern:

Damit folgt:

Das Ganze setzen wir nun in die Gesamtenergie oben ein:

Da die Gesamtenergie zeitlich konstant ist, erhalten wir die Bewegungsgleichung für den Winkel durch Ableitung nach der Zeit:

oder in Kürze

Die Lösungen dieses Differentialgleichungstyps sind Sinus- und Kosinusfunktionen:

Mit der Anfangsbedingung

also, dass beim Loslassen ein Anfangswinkel existiert, erhält man:

Hieraus kann man die leicht messbare Periodendauer T ablesen:

Diese hängt nicht von der Masse m ab, sondern nur von der Fadenlänge L und der Erdbeschleunigung g. Die exakte Differentialgleichung lässt sich nicht elementar lösen und die Periodendauer hängt dann vom Winkel ab.

Ideale Gasgleichung - Herleitung

Sun, 10 Jan 2010 13:24:02 +0100

Es soll hier eine kurze Herleitung der idealen Gasgleichung aufgezeigt werden. Die ideale Gasgleichung gibt den Zusammenhang der 3 Zustandsgrößen Druck p, Volumen V und Temperatur T (in Kelvin) des idealen Gases an. An das ideale Gas sind eine Reihe von Bedingungen zu stellen:

1. Die Gasteilchen sind punktförmig, d.h. haben keine Ausdehnung bzw. eine zu vernachlässigbare.

2. Die Gasteilchen wechselwirken nicht untereinander durch Kräfte, es sei denn sie führen elastische Stöße durch.

3. Das ideale Gas befindet sich im thermodynamischen Gleichgewicht, d.h. es existiert eine Temperatur T

Das Gas sei in einem Würfel der Kantenlänge L gefangen.

Das Gasteilchen ist dabei die grüne Kugel. Man kann nun ein mittleres Geschwindigkeitsquadrat

angeben, mit dem sich jedes Gasmolekül im Mittel im Würfel bewegt. Wir filtern nun die mittlere Bewegung einzelnen Gasmoleküls in x-Richtung auf die graue Würfelfläche eines heraus (man kann die Geschwindigkeit ja vektoriell zerlegen). Stößt nun ein Gasmolekül auf die Würfelfläche, so hinterlässt es auf der Fläche eine Impulsänderung von:

Warum die 2? Weil es einen Impuls beim Aufprall gibt und einen beim "Abstoßen" in negativer x-Richtung. Die Kraft ist je bekannter Weise die Änderung des Impulses pro Zeitintervall, also:

Nun stellt sich die Frage nach dem Zeitintervall, also wie lange dauert es, bis ein Gasmolekül von der linken Wand zur rechten Wand wandert und einen erneuten Stoß auf diese (rechte) Würfelwand durchführt. Die Antwort ist einfach:

oder

Damit bekommen wir für die Kraft auf die Wand:

Der Druck ist aber Kraft pro Fläche, also

wobei wir im Nenner das Volumen V des Würfels eingeführt haben. Wir wollen die mittlere Geschwindigkeit in x-Richtung durch die mittlere Geschwindigkeit ausdrücken. Wir erinnern uns, das gilt:

oder

Dies ist verständlich, weil die keine Richtung bevorzugt werden kann. Wir erhalten für den Druck

bzw.für den Gesamtdruck auf die Fläche, wenn N Teilchen im Würfel gefangen sind:

Wir führen die mittlere kinetische Energie ein:

und erhalten somit für den Gesamtdruck:

Mit Hilfe der Boltzmannkonstanten k und der Temperatur T definiert man einen Zusammenhang zwischen der mittleren kinetischen Energie eines Teilchens und der Temperatur.

Dies ist quasi ein Brückenschlag zwischen der klassischen Punktmechanik und der Thermodynamik. f ist die Anzahl der Bewegungsfreiheitsgrade des idealen Gases. Auf jeden Freiheitsgrad entfällt dieselbe Energie

Da dieses aber punktförmig ist, kann es sich nur in x-,y- und z-Richtung bewegen (und z.B. keine Rotation durchführen wie bei einem Hantelmolekül). Damit erhalten wir:

und endlich für den Gesamtdruck

oder

Lorentztransformationen - Herleitung

Tue, 29 Dec 2009 09:35:12 +0100

Die Spezielle Relativitätstheorie (SR) beschreibt die relative Bewegung von Bezugs- oder Koordinatensystemen, wobei von einer wesentlichen Einschränkung ausgegangen werden muss. Diese Bezugssysteme sind Inertialsysteme (Inertialsysteme = nicht – beschleunigte Bezugssysteme). Diese speziellen Koordinatensysteme sind also dadurch ausgezeichnet, dass ein Körper in ihnen ruht oder sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegt. In der AR wird diese Einschränkung fallen gelassen. Dort werden auch beschleunigte Systeme betrachtet, insbesondere die, welche durch Gravitationsfelder hervorgerufen werden. Im Grunde ist die Vorgehensweise zunächst mit der SR zu beginnen und dann in die AR zu münden die falsche, da mit der AR die SR sozusagen gratis mitgeliefert wird. Einstein ging jedoch auch den Weg von der SR zur AR, aus nur allzuverständlichen Gründen. Die AR war und ist nur mit einem weitaus umfangreicheren mathematischen Equipment zu knacken. Wenn die SR mit einem mathematischen Werkzeugkofer bewältigt werden kann, dann benötigt man für die AR die gesamte Werkstatt. Aber nicht nur mathematische Verständnisschwierigkeiten knebelten Einsteins Geist, sondern bedeutende Grundsatz- und Verständnisfragen. Bevor wir uns jedoch Einsteins Gedanken zur SR widmen noch kurz ein paar Worte zur „alten“ Mechanik von Newton und Galilei. Damit es keine Missverständnisse gibt, Newton und Galilei wohnte ein leuchtender wissenschaftlichen Geist inne, der mit Recht in einem Atemzug mit Einstein Namen genannt werden darf. Also, betrachten wir zwei Koordinatensysteme (Inertialsysteme) S und S', wobei sich S' relativ zu S mit der Geschwindigkeit in x-Richtung vortbewegt.

Die Galilei-Trafos lauten:

Die Galilei-Transformationen sahen eine absolute Zeit vor, also:

Oder mit anderen Worten, alle Uhren gehen überall gleich. Wir senden im Ursprung von S einen Lichtimpuls aus, wenn S und S' deckungsgleich sind. Man sieht schnell, dass sich die Geschwindigkeiten „einfach“ addieren, denn

oder

Aufgrund der beobachteten inertialsystemunabhängigen Konstanz der Lichtgeschwindigkeit (im Vakuum), machte Einstein zur Entwicklung der Lorentz-Transformationen folgenden Ansatz:

1) Die Lichtgeschwindigkeit (im Vakuum) hat in jedem Bezugssystem denselben Wert
2) Die Lorentztransformationen sind lineare Koordinatentransformationen
3) Als Grenzfall kleiner Geschwindigkeiten gegenüber der Lichtgeschwindigkeit c ergeben sich die Galilei-Transformationen

1) haben wir geklärt. Zu Punkt 2): nicht-lineare Transformationen ergäben beschleunigte Bezugssysteme - man denke z.B. an die gleichmäßig beschleunigte Bewegung

die bekanntlich quadratisch in der Zeit ist. Punkt 3) ist für die Seriösität einer Theorie von entscheidender Bedeutung, denn ein neues Theoriegebäude ist nur dann einen Pfifferling wert, wenn sie

a) bisher nicht erklärbare Effekte zu erklärbare macht (aber nicht unbedingt zu verstehende)
b) alte Theorien in ihrem Gültigkeitsbereich mit einschließt

Es gibt unzählige verwirrte wissenschaftliche Geister, die gerne ein wenig Einstein wären und wilde Theorien in die Welt setzen, ohne sich über die Erfüllung beider Punkte (oder auch nur eines Punktes) Gedanken zu machen. Die Galilei-Transformationen sind durchaus richtig bzw. eine sehr sehr gute Näherung, wenn man nur Geschwindigkeiten zulässt, die wesentlich kleiner als c sind. Also in die Hände gespuckt. Wir gehen von denselben Koordinatensystemen wie im Bild oben beschrieben aus, nur dass wir nun den folgenden allgemeineren Ansatz machen und die Sache vom gestrichenen System aus angehen:

Aufgabe ist es nun, die konstanten Koeffizienten zu bestimmen. Da die obigen Gleichungen für alle Zeiten und Orte gelten, kann man zur Festlegung der Koeffizienten von speziellen Situationen ausgehen und die dadurch gefundenen Ergebnisse wieder in den allgemeinen Ansatz einsetzen.

Wir wollen die Bewegung des Koordinatenursprungs von S' in S betrachten. Der Ursprung in S' ist gegeben durch

Zu Start unserer Betrachtungen sollen die beiden Koordinatensysteme im Ursprung zusammenfallen, also haben wir auch

Den Start setzen wir zeitlich fest mit:

und kennzeichnen ihn mit einer tiefergestellten 0, damit wir die Dinge auseinanderhalten können. Natürlich sind t, t' und x zu einem späteren Zeitpunkt ungleich 0. Da nun aber zum Startschuss alle Koordinaten in allen Koordinatensystemen 0 sind, erhalten wir:

und

Das ganze reduziert sich also im allgemeinen Ansatz auf

(1)

(2)

Wir erinnern uns, dass wir spezielle Ergebnisse in den allgemeinen Ansatz integrieren dürfen, weil die Gleichungen in allen Bezugssystemem Gültigkeit haben sollen und müssen. Zurück zum Spezialfall. Der Ursprung von S' bewegt sich also aus der Sicht von S in positiver x-Richtung (siehe Bild oben). Da der Ursprung in S' mit x'=0 gegeben ist, erhalten wir für (1)

Daraus folgt blitzartig

denn das Verhältnis von x zu t ist ja gerade die Geschwindigkeit des Ursprungs von S' in S. Wir erhalten für Gleichung (1) damit

(3)

Der Ursprung von S' bewegt sich in S ja gerade mit v. Da beide
Systeme gleichberechtigt sind, erhalten wir die Transformation von x einfach, in dem wir v durch –v ersetzen, denn aus der Sicht von S' bewegt sich S mit v in negativer x-Richtung.

(4)

Viel ist nicht mehr zu tun. Wir gehen wieder davon aus, dass beide Koordinatensysteme zu t=t'=0 zusammenfallen. In diesem Moment soll im gemeinsamen Ursprung ein Lichtblitz ausgesandt werden. Da die Lichtgeschwindigkeit überall denselben Wert hat, breitet sich das Licht sowohl in S als auch in S' mit c aus, also:

und

Wir eliminieren damit in (3) und (4) t und t' und erhalten:

(3)

(4)

Fasst man beide Gleichungen zusammen, so erhält man nach kurzer Rechnung für den Koeffizienten

(5)

und damit für

(3)

Die Transformationsgleichung für t' erhält man z.B., wenn man

(4)

nach t' auflöst und die Ergebnisse für und x' verwendet (das schöne an dieser hier nicht durchgeführten Rechenübung ist, dass man das Ergebnis bereits kennt, also Bleistift gewetzt und los). Fassen wir die Lorentztransformationen noch einmal zusammen:

bzw.:

Jetzt bleiben noch zwei spannende Fragen offen. Wie steht es mit Galilei? Es sieht jeder mit einem wenig scharfen Blick, wie sich die Lorentztransformationen in die von Galilei verwandeln, wenn wir annehmen, dass die Geschwindigkeit v wesentlich kleiner als die Lichtgeschwindigkeit c sein soll. Dann ist die berühmte Wurzel

nur wenig von 1 verschieden, also:

und

Wie wenig von 1 verschieden zeigt das folgende Beispiel. Die maximal erreichbaren Geschwindigkeiten auf der Erde sind einige Kilometer pro Sekunde, sagen wir v = 3 km/s. Die Lichtgeschwindigkeit beträgt ca. c = 300 000 km/s. Also erhält man für v/c den Wert von 1/100 000. In den Taschenrechner gehackt ergibt das für die Wurzel:

Die weitaus spannendere Frage ist, welche neuen Konsequenzen sich aus den Lorentztransformationen ergeben. Dazu mehr in späteren Beiträgen (Lorentzkontraktion, Zeitdilatation, E = mc^2 usw.).

Bohr-Sommerfeld-Atom-Modell

Fri, 25 Dec 2009 08:53:51 +0100

Das Bohrsche (Wasserstoff)-Atommodell geht von folgenden Postulaten aus:

1. Die klassischen Bewegungsgleichungen sollen für die Atomelektronen gelten, allerdings sollen nur bestimmte, diskrete (Kreis)-Bahnen erlaubt sein.

2. Die Bewegung der Elektronen auf diesen Bahnen erfolgt strahlungsfrei. Beim Übergang von einem höheren Niveau n auf ein tieferes m (das entspricht einer Bahn mit größerem Radius r auf eine Bahn mit kleinem Radius r) wird ein Quant der Energie

emittiert, dabei ist die Frequenz.

3. Der Bahndrehimpuls des Elektrons ist ein ganzzahliges Vielfaches des Planckschen Wirkungsquantum, also

mit n = 1,2,3....

Die Schwächen des Modells sind offensichtlich und schon jetzt erkennbar. 2. erklärt nicht, warum sich die Elektronen strahlungsfrei bewegen sollen - klassisch gesehen stellt eine Kreisbewegung einen beschleunigten Vorgang dar, der elektromagnetische Strahlung emittiert. Und 3. ist ziemlich aus dem Hut gezaubert und wie sich zeigen wird, ziemlich grob um nicht zu sagen ungenau. Die Drehimpulsquantelung wird oft als 3. Postulat bezeichnet, es existieren in der Literatur aber auch andere Meinungen.

Durch Anwendung der klassischen Gesetze (Gleichsetzung von Zenztrifugal- und Coulombkraft und der Bildung der Gesamtenergie und 3. gelangt man zur gequantelten Gesamtenergie des Elektrons. Wir rechnen:

Auf einer Kreisbahn befindet sich Coulomb- und Zentrifugalkraft im Gleichgewicht:

oder

Die Gesamtenergie des Elektrons ist:

Dabei ist e die Elementarladung, die elektrische Feldkonstante, r der Bahnradius des Elektrons, m die Elektronenmasse und v die Bahngeschwindigkeit des Elektrons. Wir eliminieren die Geschwindigkeit durch Verwendung des Kräftegleichgewichts und erhalten:

Das ist schön kompakt. Nun wenden wir uns 3. zu und setzen die klassische Drehimpulsdefinition der gequantelten gleich, also:

Wir formeln um

und setzen das in den oben gefundenen Ausdruck für das Geschwindigkeitsquadrat ein:

oder

Der Bahnradius ist also gequantelt und nimmt mit dem Quadrat von n zu. Wir setzen das Ergebnis nun in die Gesamtenergie ein und erhalten:

Dies gilt natülich nur für das Wasserstoffatom mit der Kernladungszahl Z = 1. Für andere Kerne muss man

schreiben.

Die Ionisierungsenrgie des Wasserstoffatoms beträgt also (das entspricht einem Sprung von n = unendlich nach n = 1 dem Grundzustand):

Für einen Bahnensprung von n nach m ergibt sich damit

Eine genauere hochauflösendere Betrachtung der Wasserstofflinien ergab jedoch, dass diese keineswegs nur einfache Linien sind, die den Grundzuständen entsprechen, sondern eine "innere" Struktur besitzen.
Sommerfeld verfeinerte die Theorie, in dem er die Entartung des Drehimpulses berücksichtigte, quasi in dem er nicht mehr von Kreisbahnen ausging sondern Ellipsen. Nach den kepllerschen Gesetzen ist bekannt, dass Ellipsenbahnen dieselbe Energie haben können wie Kreisbahnen (eine Kreisbahn ist ja ein Spezialfall einer Ellipse, aber auch Ellipsenbahnen, die keiner Kreisbahn entsprechen, können dieselbe Energie wie eine Kreisbahn haben. Eine Ellipse kann natürlich nicht mehr durch einen Parameter alleine beschrieben werden (Kreisradius was der Hauptquantenzahl n entspricht). Also die Verfeinerung (das Plancksche Wirkungsquantum lasse ich mal weg) lautet:

mit l = 0,1,2....n-1

l ist die Drehimpulsquntenzahl. Also l = 0 wird dann s-Orbital genannt s für sharp, l = 1 p-Orbital p für principal, d für diffuse, f für fundamental usw. Diese Drehimpulsbeziehung stimmt mit der 3. Postulate von Bohr nur für große l überein, nämlich wenn

In einem äußeren Magnetfeld kann sich die Elektronen-Ellipse (Bahndrehimpulsvektor), welche ebenfalls ein magnetisches Feld erzeugt und mit dem äußeren Magnetfeld wechselwirkt, dann nur in bestimmten Richtungen zum äußeren Magnetfeld annehmen. Mahn ahnt es, eine weiter Quantenzahl (die magnetische) wird gebraucht:

m = -l....,0,...+l

Für l=1 gibt es also 3 Ausrichtungen: -1,0,+1.

Wenn man nun noch den Spin berücksichtigt (als neue Quantenzahl mit zwei Ausrichtungen zur z-Achse, nämlich +/- 1/2) und das Pauliprinzip, welches besagt, dass In einem Atom nie zwei Elektronen in allen vier Quantenzahlen übereinstimmen können, kann man sich ausrechnen, wie die Schalen maximal besetzt sein können, nämlich mit 2*n^2 Elektronen. Wir schauen uns die ersten beiden Schalen an:

K-Schale mit n=1 ergibt l =0 und m = 0, also nur 2 Zustände für Spin hoch und Spin runter für das s-Orbital.

L-Schale mit n=2 ergibt l=0,1 und m=-1,0,1 für l=1 also 3 Zustände für die magnetische Quantenzahl mit l=1 multipliziert mit den Spinzuständen (2) sind das maximal 6 Zustände für l=1 zuzüglich der beiden Elektronen für l=0 macht das insgesamt 8 Elektronen für die L-Schale.

Einstein-Rätsel

Sat, 17 Oct 2009 09:54:30 +0200

Hallo,

schön, dass es jetzt auch ein Forum über Albert Einstein gibt. Ich hätte nämlich eine Frage zu ihm.

Es gibt ja dieses sogenannte Einstein-Rätsel.

Weiß jemand, ob dieses Rätsel wirklich von ihm erdacht wurde?

Gruß,

Cujo

Einmal Maxwell bitte

Tue, 06 Oct 2009 08:32:45 +0200

Liebe Physikfreunde,

ich werde hier nach und nach den Weg zu den Maxwell-Gleichungen skizzieren. In diesen Gleichungen fasste Maxwell die losen elektromagnetischen (und elektrostatischen) Kenntnisse, die zu seiner Zeit noch ungeordent und getrennt voneinander vorlagen, zu einer einheitlichen Theorie zusammen. Im Grunde kann man sagen, dass es sich bei den Maxwell-Gleichungen um die erste vereinheitlichte Feldtheorie handelt, denn elektrische und magnetische Felder wurden lange Zeit als getrennte Sachverhalte angesehen.

0. Zunächst ein paar Definitionen:

Lichtgeschwindigkeit:

Elektrische Ladung:
e
Elektrische Feldkonstante:

Magnetische Feldkonstante:

Zeit:
t
Ortsvektor:

Kontravariante Raum-Zeitkoordinaten (Viererschreibweise):

Kovarianter und Kontravarianter Metriktensor für Lorentz-Metrik:

Gradient

Kovarianter Vierer-Gradient

Laplace-Operator

Quabla-Operator

Bekomme das Quadrat/Box nicht ohne das Gekritzel im Zentrum hin
Rotation eines Vektorfeldes:

Divergenz eines Vektorfeldes:

Elektromagnetisches Viererpotential (kontravariant)

Elektromagnetischer Feldstärketensor

Vektorpotential

Cloulombpotential
V
Magnetfeld

Magnetische Induktion

Elektrisches Feld

Dielektrische Verschiebung

Elektrische Ladungsdichte

Elektrische Stromdichte

Viererstromdichte

Die Lichtgeschwindigkeit setzen wir wieder aus Faulheit 1.

1. Die elektrischen Felder E und D

Etwas verwirrend ist die Einführung der beiden Felder E (elektrisches Feld) und D (dieelektrische Verschiebung. Die expirementell direkt zugängliche Größe ist E, denn die Kraft F auf eine Ladung e ist:

Die dielektrische Verschiebung hat etwas mit dem Feld zu tun, welches die tatsächlich vorhandenen, freien Ladungen als Quelle hat (und nicht die durch Polarisation erzeugte). E enthält neben den freien Ladungen als Feldquelle auch die Polarisation, also das zusätzliche Feld, welches durch die Ausrichtung z.B. atomarer Dipole in der Materie verursact wird. Die Bedeutung von D wird in inegraler Form schnell klar:

D.h. das Oberflächenintegral (z.B. Kugeloberfläche, welche eine Punktladung e umfasst) ist die Punktladung selbst. Wir gelangen mit Hilfe des Gaußchen Integralsatzes schnell zum ersten Teil der Maxwellschen Gleichungen, wenn wir das Oberflächenintegral in ein Volumenintegral umwandeln (Volumen V):

oder

Da dies für alle Volumina gilt, muss gelten:

Mit anderen Worten, die Quelle von D ist die Ladungsdichte. Der Zusammenhang zwischen D und E ist über die Polarisation P gegeben:

ist dabei die elektrische Feldkonstante. Oft ist die Polarisation proportional zum elektrischen Feld und man kann schreiben:

Dabei ist die materialabhängige Dielektrizitätskonstante. Dieser proportionale Zusammenhang zwischen E und D gilt jedoch nicht immer.

2. Die magnetischen Felder B und H

Wie bei den elektrischen Fledern existieren auch bei den magnetischen zwei Definitionen, die etwas für Verwirrung sorgen können. Das Magentfeld H und die magnetische Induktion B. Über die Lorentzkraft sehen wir, welche die expirementell direkt zugängliche Größe ist, nämlich B, denn die Kraft F auf eine Ladung e mit der Geschwindigkeit v ist:

oder wenn Geschwindigkeit und Magnetfeld senkrecht zueinander stehen:

Es existieren nach heutigem Stand nur magnetische Dipole und keine magnetischen Monopole (obwohl es derzeit einen Bericht gibt, der anderes verspricht - aber abwarten). Da also nur Dipole existiern, besitzt ddas Magentfeld keine Quellen, also (siehe Kapitel zuvor):

Damit haben wir schon 2 von 4 der Maxwell-Gleichungen. Das Magnetfeld H wird durch die makroskopischen Ströme erzeugt (also z.B. der, der durch einen Draht fließt). Durch die H-Felder kann Materie magnetisiert werden, so dass wir ähnlich zu den elektrischen Feldern finden:

dabei ist M die Magnetisierung und die magnetische Feldkonstante. Im Vakuum ist die Magnetisierung 0. Ist die Magnetisierung proportional zum H-Feld (was nicht immer der Fall ist), kann man schreiben:

Dabei ist die magnetische Permeabilität.

3. Verwirbelungen

Zu den letzten beiden Maxwellgleichungen. Man kann kurz sagen, die zeitliche Änderung des einen Feldes verursacht eine Verwirbelung (mathematisch Rotation) des anderen Feldes. Fangen wir mit dem Faradayschen Induktionsgesetz an. Ein sich zeitlich änderndes Magnetfeld erzeugt ein verwirbeltes elektrisches Feld:

Dieses Gesetz entdeckte Michael Faraday 1831. Jeder fahrraddynamo funktioniert nach diesem Prinzip. Die umgekehrte Form, also die eines sich zeitliche ändernden elektrischen Feldes, sieht ähnlich aus:

Ein verwirbeltes Magnetfeld hat allerdings zwei Quellen. Die eine ist ein sich zeitlich änderndes elektrisches Feld (genauer dielektrische Verschiebung), die andere ist die elektrische Stromdichte j. Der erste Teil:

ist als Amperesches Gesetz (Durchflutungsgesetz) bekannt. Es wurde von Andre Marie Ampere 1820 entdeckt. Jeder weiß, dass ein durch ein Draht fließender Strom ein um den Draht kreisförmiges Magnetfeld erzeugt, wobei Stromflussrichtung und Magnetfeldvektor senkrecht zueinander stehen.

4. Maxwellgleichungen und das Licht

Wir fassen die 4 Gleichungen noch einmal zusammen und erhalten die Maxwell-Gleichungen:

Wor wollen die Maxwell-Gleichungen für das vakuum formulieren und erhalten, wenn wir die Felder D und H durch E und B ersetzen:

Die Vakuumform ist völlig symmetrisch in den Feldern E und B. Wir wollen die Vakuumgleichungen entkoppeln. Wir leiten hierzu III. nach der Zeit ab und bilden von IV. die Rotation:

Wir fassen die beiden Gleichungen zusammen und erhalten:

Somit sind beide Gleichungen entkoppelt, d.h. man hat nur noch eine Gleichung für das B-Feld. Wir schreiben das ganze noch etwas um, in dem wir nutzen, dass

Im letzten Schritt haben wir ausgenutzt, dass die Divergenz von B verschwindet (siehe oben). Wir erhalten damit im Vakuum für das B-Feld (und auch für das E-Feld - Rechnung dazu analog) eine Wellengleichung:

Bitte die Identität Rotation Rotation B = laplace B mal selber nachrechnen. Von Wellengleichungen weiß man, dass man sie auch so schreiben kann (mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit c der Welle):

wobei die Lichgeschwindigkeit

ist. Daran erkennt man die Vereinheitlichung der Felder E und B (elektrisches und magnetisches) am deutlichsten. Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum bildet sich aus den beiden Konstanten der elektrischen und magnetischen Wechselwirkung.

5. Maxwellgleichungen in kompakter Viererform

Wir schreiben die 4 Gleichungen noch einmal in E- und B-Feldform mit Materie mit dem Spezialfall von konstantem und :

Auf dem Weg zu einer Verallgemeinerung der Maxwellgleichungen muss man versuchen eine elementarere Formulierung der Felder E und B suchen. Die Frage ist, ob sich das elektrische und magnetische Feld aus einem (Vierer-)Potential konstruieren lässt. Wir machen hierzu folgenden Ansatz:

und

Hierbei haben wir neu das vektorpotential A und das Potential V (welches für Zeitunabhängigkeit mit dem Coulombpotential identisch ist) eingeführt. Natürlich müssen die Maxwellgleichungen immer noch gelten. Wir prüfen:

Wenn das Vektorpotential A zeitunabhängig ist oder die Divergenz von A verschwindet, erhalten wir die Differentialgleichung für das Coulombpotential. So weit so gut, aber noch kein Beweis für die Richtigkeit oder die Allgemeinheit des Ansatzes. Machen wir weiter:

Das ist offensichtlich erfüllt. Und weiter:

Das stimmt auch, weil

Nun zur 4. Gleichung:

Wir verwenden wieder die Identität für die doppelte Rotation und erhalten nach ein wenig Aufräumen:

Wir wählen nun folgende Vereinfachung, die treffend auch als Coulomb-Eichung bekannt ist:

und

Damit erhalten wir für I. und IV.:

I. ergibt das Coulombpotential und IV. ergibt für das Vakuum wieder eine Wellengleichung für das Vektorpotential, woraus Wellengleichungen für das E- und B-Feld resultieren, wie es auch sein soll. Es scheint, als seien wir auf dem richten Weg. Wir führen nun einfach ein paar Vierervektoren ein und schauen was passiert:

Viererstromdichte:

Vierervektorpotential:

und den Feldstärketensor:

Konkret sieht das dann so aus:

Wir erinnern uns:

und

und erhalten damit für den Feldstärketensor:

und damit auch die beiden inhomogenen Maxwellgleichungen (wir setzen die elektrische- und magnetische Feldkonstante 1 - man kann später bei Auflösung der Detailgleichungen diese wieder hinzufügen, es ist im Grunde nur eine Einheitennormierung):

Denn es gilt

oder

Fehlen noch die beiden homogenen Maxwellgleichungen. Dafür benötigt man einen "veränderten" Feldstärketensor:

dabei ist das Levi-Civita-Symbol:

Ohne explizite Rechnung erhält man für den transformierten Feldstärketensor damit:

Und damit nun endlich die letzten beiden homogenen Maxwell-Gleichungen:

Denn es gilt

oder

Ich haben fertig

Energieerhaltung herleitbar?

Fri, 02 Oct 2009 18:03:54 +0200

Hab mich schon öfter gefragt ob man die Energieerhaltung aus irgendeinem physikalischem Gesetz herleiten kann, hab dazu im Netz folgendes gefunden:

Man geht hierbei von der Newtonschen Bewegungsgleichung aus:

Nun wird das ganze mit der Ableitung von r multipliziert und danach integriert:

Nun betrachtet man beide Seiten der Gleichung extra:

Auf der linken Seite gilt natürlich:

Also:

Auf der rechten Seite lässt sich die (in diesem Fall konservative Kraft) F durch den Nablaoperator (N) als -NV darstellen, wobei V das Potential ist.

Durch das Gleichsetzen der beiden Seiten erhält man den Erhaltungssatz der Energie:

Nun wollt ich wissen, was man von dieser (zugegebenermaßen schon sehr mathematisch angehauchten) Herleitung halten soll???

Kann man es überhaupt als Herleitung bezeichnen, wenn man von einem Axiom (nicht beweisbaren Grundsatz) ausgeht?
Aber anders geht es in der Physik doch eh nicht? Irgendwas muss man ja vorraussetzen, ich kann die Gesetze ja nicht aus nichts herleiten?!

Einmal Dirac und zurück

Mon, 28 Sep 2009 08:13:56 +0200

Liebe Physikfreunde,

ich habe diese Thema neu eröffnet, um den Weg von der Schrödingergleichung zur Diracgleichung und von der Diracgleichung mit elektromagnetischer Wechselwirkung wieder zur Schrödingergleichung zu skizzieren, quasi einmal hin und zurück. Ich möchte hierbei historisch vorgehen, um die Probleme aufzuzeigen, welche die Diracgleichung notwendig gemacht haben. Der Beitrag wird natürlich nicht mit seinem ersten Posting vollständig sein, sondern mit der Zeit wachsen (wenn ich ein paar Millisekunden erübrigen kann neben meinem Broterwerb). Deshalb schaut einfach von Zeit zu Zeit hier rein, das erste Posting (also dieses) zu dem Thema wird wachsen und hoffentlich ein paar Früchte der Erkenntnis tragen.

0. Zunächst ein paar Definitionen:

Lichtgeschwindigkeit:

Plancksches Wirkungsquantum:

Elektronenruhemasse:
m
Elektrische Ladung:
e
Energie:
E
Impulsvektor:

Zeit:
t
Ortsvektor:

Kontravariante Raum-Zeitkoordinaten (Viererschreibweise):

Kontravarianter Viererimpuls:

Kovarianter und Kontravarianter Metriktensor für Lorentz-Metrik:

Gradient

Kovarianter Vierer-Gradient

Laplace-Operator

Quabla-Operator

Bekomme das Quadrat/Box nicht ohne das Gekritzel im Zentrum hin
Elektromagnetisches Viererpotential (kontravariant)

Elektromagnetischer Feldstärketensor

Homogene Maxwellgleichungen

Coulombpotential
V
Magnetfeld

Es wird einen verwundern, dass ich die Lichtgeschwindigkeit und das Plancksche Wirkungsquantum 1 gesetzt habe. Das ist in der Quantentheorie gängige (Faulheits)Praxis, da es sehr mühsam ist in den Gleichungen etliche Konstanten mitzuschleppen. Am Ende einer Rechnung fügt man dann einfach soviele c's und h's wieder hinzu, dass es mit den Einheiten passt. Weiterhin wird nach der Einsteinschen Summenkonvention über gleiche oben- und untenstehende Indizes aufsummiert (von 0-3).

1. Quantisierung

Es gibt viele Wege, die von der klassischen Mechanik zur Quantenmechanik führen. Ich werde es kurz machen. Die klassischen Variablen wie Energie und Impuls werden einfach durch Differentialoperatoren ersetzt und man lässt das ganze auf eine Wellenfunktion wirken. Zunächst zu den Operatoren (mit einem Dach oben drauf, damit man den Unterschied zu den klassischen Variablen erkennt):

Energieoperator

Impulsoperator

oder kurz und knapp der kovariante Viererimpulsoperator

bzw. der kontravariante Viererimpulsoperator

2. Schrödingergleichung

Betrachten wir nun die Energie für ein Teilchen (Elektron) im Coulombpotential:

Wir erstezen das durch unsere Operatoren

(streng genommen müsste man noch ein dach auf das Coulombpotential machen) oder als Differentialgleichung:

oder

oder ausnahmsweise einmal mit der Planckkonstanten

Kommen wir nun zu einem sehr wichtigen Punkt, der Interpretation der Wellenfunktion. Hierzu gehen wir von:

2.1

und bilden das konjugiert komplexe der Gleichung

2.2

Wir multiplizieren 2.1 mit der konjugiert komplexen Wellenfunktion und 2.2 mit der Wellenfunktion selbst gegen, dann folgt

2.3

2.4

Wir addieren 2.3 und 2.4 und erhalten

oder

Dies ist eine Kontinuitätsgleichung. Man kann nun

als Aufenthalts-Wahrscheinlichkeitsdichte des Elektrons definieren, da der Wert immer größer oder gleich 0 ist. Damit erhält man die sehr wichtige Normierungsbedingung

also die Wahrscheinlichkeit, das Elektron irgendwo im Raum anzutreffen, ist 1. Es wird dabei über das gesamte Raumvolumen V integriert (bitte nicht mit dem Coulombpotential verwechseln). Diese Wahrschenlichkeitsinterpretation soll auch für eine relativistische quantenmechanische Gleichung aufrecht erhalten werden. Im nächsten Kapitel wird sich zeigen, zu welchen Problemen dies führt.

3. Klein-Gordon-Gleichung

Da man ja nicht nur Quantenmechanik mit kleinen Geschwindigkeiten (<< c) betreiben wollte, war man auf der Suche nach einer relativistischen Gleichung, deren Struktur auch eine Wahrscheinlichkeitsinterpretation zulässt. Der einfachste Ansatz war, Einsteins Energie-Impuls-Beziehung heranzuziehen:

(Die lichtgeschwindigkeit wurde wieder 1 gesetzt). Wir quantisieren wie oben geschrieben und erhalten die relativistische Quantengleichung:

oder kurz

3.1

Wir basteln uns wieder eine Kontinuitätsgleichung, in dem wir zunächst das konjugiert komplexe bilden:

3.2

3.1 bekommt die konjugiert komplexe Wellenfunktion und 3.2 die Wellenfunktion pur gegenmultipliziert.

3.3

3.4

Wir subtrahieren die letzten beiden Gleichungen voneinander:

oder

oder

Wir definieren die Viererstromdichte und wählen einen Vorfaktor, so dass sich die Dimension einer Wahrscheinlichkeitsdichte ergeben würde (das 1/2 ist Konvention):

Wir betrachten die Zeitkomponente, um wieder eine wahrscheinlichkeitsinterpretation zu versuchen:

und müssen leider feststellen, dass sowohl positiv als auch negativ sein kann. Damit ist eine Wahrscheinlichkeitsdichten-Interpretation nicht möglich. Dies liegt daran, dass die Klein-Gordon-Gleichung von zweiter Ordung in der Zeitaleitung ist und für eine vollständige Lösung sowohl die Wellenfunktion als auch ihre erste Zeitableitung zu einem gegeenen Zeitpunkt bekannt sein müssen. Was aber gelingt, ist eine Ladungsdichteninterpretation, hierzu machen wir einen einfachen Ansatz:

3a)
3b)
3c)

3a), 3b) und 3c) sind Lösungen der Klein-Gordon-Gleichung. Setzen wir das in ein, erhalten wir:

4a)
4b)
4c)

Interpretieren wir als Ladungsdichte (wir setzen die Ladung e einfach 1, um keine Schwierigkeiten mit den Einheiten zu bekommen), erhalten wir alle Ladungszustände, +1, -1 und 0, je nachdem, ob wir ein geladenes Teilchen, geladenes Antiteilchen oder ein neutrales Teilchen vorliegen haben. Die Klein-Gordon-Gleichung hat in der Tat ihre Berechtigung als Spin-0-Teilchen-Gleichung. Wir denken z.B. an die Pionen:

und .

4. Dirac-Gleichung

Ziel wird es sein, eine Quanten-Gleichung (Differentialgleichung) zu finden, die linear in der Zeitableitung ist, damit eine positiv definite Wahrschenlichkeitsdichte als Interpretation möglich ist. Betrachten wir nochmals die relativistische Energie-Impulsbeziehung:

zieht man die Wurzel, erhält man:

Würde man nun Operatoren einführen, hätte man eine Gleichung, die linear in der Zeitableitung ist. Allerdings stört die Wurzel. Wir machen daher folgenden linearen Ansatz:

4.1

Hierbei handelt es sich um die Dirac-Gleichung. Es ist schon jetzt klar, dass die keine einfachen Zahlen sein können, sondern Matrizen sein müssen. Der Ansatz muss folgende Bedingungen erfüllen:

1. Die müssen hermitische Matritzen sein, damit sich reelle Eigenwerte ergeben können.

2. Durch "Quadratur" muss sich die Klein-Gordon-Gleichung ergeben.

Wir multiplizieren dazu

von links gegen unseren Ansatz und erhalten:

oder

oder wegen der Symmetrie (Vertauschbarkeit der Ableitungen) auch

Damit wir wieder auf die Klein-Gordon-Gleichung kommen können (3.1), muss gelten:

Eine mögliche Darstellung für diese Antikommutatorbeziehung sind die Diracmatritzen:

Wenn die Diracmatritzen 4 X 4 Matrizen sind, muss die Wellenfunktion eine 4-Komponenten-Wellenfunktion sein (Spinor). Wie gehabt kann man nun eine Viererstromdichte mit positiv definierter Wahrscheinlichkeitsdichte konstruieren. Wir multiplizieren zunächst
von links gegen die Diracgleichung 4.1 und erhalten:

4.2

Wir bilden das (hermitisch)-konjugiert-komplexe und erhalten

4.3

Als nächstes wird 4.2 von links mit und 4.3 von rechts mit und bekommen die bedien Gleichungen

4.4

und

4.5

4.4 - 4.5 ergibt endlich

Damit haben wir wieder die positiv definite Wahrscheinlichkeitsdichte

5. Dirac-Geichung mit elektromagnetischer Wechselwirkung - Eichinvarianz

Die eben gewonnene Wahrscheinlichkeitsdichte ist invariant unter Phasentransformationen:

denn

Wir wollen nun fordern, dass auch die Dirac-Geichung invariant unter Phasentransformationen ist. Ist nur eine Zahl, ist die Dirac-Gleichung leicht erkennbar invariant unter diesen spezielle globalen Phasentransformationen. Wir wollen aber mehr, nämlich, dass dei Dirac-Gleichung invariant unter lokalen Eichtransformationen ist (also wenn die Phase explizit abhängig von den Raum-Zeit-Koordinaten ist , wie oben beschrieben, also ). Wir setzen hierzu

in die Diracgleichung

ein und erhalten

Es stört irgendwie der Ableitunsterm nach der Phase . Wir führen deshalb die kovariante Ableitung ein (Achtung, hat nichts mit der kovarianten Ableitungen in der Allgemeinen Relativitätstheorie zu tun):

und versuchen es mit der Diracgleichung und der kovarianten Ableitung noch einmal:

Wir definieren dass gestrichene (transformierte) Viererpotential

Damit erhalten wir die komplett gestrichene (transformierte) Dirac-Gleichung

Damit hätten wir (fast) gewonnen, denn die gestrichenen (transformierten) Größen (Wellenfunktion und Viererpotential) erfüllen dieselbe Diracgleichung wie die ungestrichenen. Wir müssen nur noch zeigen, dass die Bewegungsgleichungen für das elektromagnetische Viererpotential, also die Maxwellgleichungen

invariant unter den Transformationen

sind. Hierzu reicht es zu zeigen, dass der Feldstärketensor:

invariant ist. Wir setzen ein:

Damit ist alles gezeigt. Sowohl die Dirac-Gleichung als auch die Maxwell-Gleichungen sind invariant unter den Transformationen. Die Forderung nach lokaler Eichinvarianz verlangt also die Einführung einer Wechselwirkung (im Falle der U(1)-Transformationen die elektromagnetische Wechselwirkung).

Bevor wir zur nichtrelativistischen Näherung der Dirac-Gleichung mit elektromagnetischer Wechselwirkung kommen, die in die Schrödinger-Gleichung mündet, noch kurz ein Verfahren, wie man sehr einfach zu Feldstärketensoren gelangen kann und zwar nicht nur für die elektromagnetische Wechselwirkung sondern für alle (Elektroschwache, Starke und Gravitation).

Siehe hierzu auch:

http://www.einsteins-erben.de/erben2.php?men=erb

Mit Hilfe des Kommutators kommt man schnell zum gewünschten Ergebnis:

6. Zurück zu Schrödinger

Wir wollen nun den Weg zurück zur Schrödinger-Gleichung gehen. Wir gehen hierbei von der Dirac-Gleichung mit elektromagnetischer Wechselwirkung aus:

Hierfür formen wir das ganze ein wenig um. Zunächst sortieren wir die Gleichung um und schreiben die Zeitableitung ganz nach links und multiplizieren ebenfalls von links (wie wir es von Schrödinger kennen) und erhalten:

Zur Erinnerung, V ist das Coulumbpotential. Nun schreiben wir die Diracmatritzen um:

Wobei die Nullen in der Matrix nach dem Definitionszeichen selbst 2 X 2 Nullmatritzen sind und die sind die 2 X 2 Paulimatritzen. Damit erhalten wir:

Man beachte, dass die 0 und 1 in den 2 X 2 Matrizen ebenfalls 2 X 2 Matritzen sind (die 1 ist die 2 X 2 Einheitsmatrix und die 0 die 2 X 2 Nullmatrix).

Dann erseten wir den Viererspinor durch zwei Zweierspinoren und spalten gleich die Ruhemasse ab:

Damit ergibt sich das Gleichungssystem:

Betrachten wir zunächst den unteren teil der Gleichung und ordnen die Terme der Größe nach. Da wir den Hauptenergieteil mit der Ruhemasse abgespalten haben, sind kinetische und potentielle Energie klein gegenüber der Ruheenergie, also

und

D.h. in gröbster Näherung bleibt unten übrig:

Mit dem Ergebnis erhalten wir für die obere Gleichung:

6.1

Das Ergebnis erinnert schon sehr stark an die Schrödinger-Gleichung. Um hier weiter kommen zu können, müssen wir ein wenig Matrixgymnastik betreiben und schauen uns die Paulimatritzen näher an. Es gilt die Relation:

Mit anderen Worten, das Ergebnis ist das Skalarprodukt zwischen den Vektoren A und B plus i mal dem Skalarprodukt des Paulimatrizenvektors mit dem Vektorprodukt von A und B. Das kann jeder als kleine Übung mal zwischendurch rechnen. Damit verarzten wir:

Hierzu zwei Anmerkungen. Die Rotation vom Vektorpotential A ergibt das magnetfeld B und, der Nabla-Operator "frisst" sich durch. Dies ist so zu verstehen, dass der gesamte Ausdruck immer noch auf eine Wellenfunktion wirkt und stets in Abhängigkeit der Position des Nablaoperators durchdifferenziert werden muss (Produktregel). Wir setzen das Ergebnis in 6.1 ein und erhalten:

6.2

Für schwache, homogene (konstante) Magnetfelder gilt:

denn

Das homogene Magnetfeld setzen wir in 6.2 ein und erhalten

6.3

Wir berechnen nun noch

und setzen das in 6.3 ein (wir haben den quadratischen Term in B vernachlässigt, da wir nur schwache Magnetfelder betrachten):

6.4

Wir sind fast am Ziel. Wir bearbeiten zunächst:

Dabei ist der Drehimpulsoperator. Wir definieren noch den Spinoperator:

Warum macht das Sinn? Berechnen wir die Eigenzustände bezüglich der Z-Ausrichtung des Spins mit den Eigenvektoren (1,0) und (0,1):

also

und

Die beiden Zustände geben also die Ausrichtung des Elektronenspins mit +/- 1/2 in z-Richtung wieder. Damit und mit dem Bahndrehimpuls erhalten wr endlich die Schrödinger-Gleichung mit elektromagnetscher Spin-Bahn-Wechselwirkung.

Diese Form der Schrödingergleichung mit Spin-Bahn-Wechselwirkung für Spin-1/2-Teilchen war auch schon lange vor der Diracgleichung bekannt. Man kann nun auch so argumentieren, dass der Grenzfall ein beweis dafür ist, dass die Diraggleichung Spin-1/2-Teilchen beschreibt. Bemerkenswert ist auch der Faktor 2 (g-Faktor), der vor dem Spinoperator steht. Vor Dirac musste dieser willkürlich hinzugefügt werden, um mit dem experiment konform zu sein. Dirac liefert diesen Faktor zwanglos.

Ich haben fertig

Vektorpotential

Sat, 26 Sep 2009 14:23:40 +0200

Hier:

Schrödingergleichung mit Vektorpotential

habe ich etwas zum Vektorpotential geschrieben; das gehört natürlich vor allem zum Bereich "Elektrodynamik"; deshalb wollte ich auch hier darauf verweisen.

Grüsse,

Solkar

Schrödingergleichung mit Vektorpotential

Sat, 26 Sep 2009 14:15:42 +0200

Irgendwie habe ich grade selbst den Eindruck, Phantome zu jagen, aber anyway:

In der Schrödingergleichung

steckt rechts ein skalares, zeitunabhängiges Potential im Hamiltonian:

Fragen dazu:

1) Wie ginge man dabei eigentlich mit dem magnetischen Vektorpotential um? "Irgendwas" wird man "mit" dem Hamiltonian tun müssen, da sich Skalare und Vektoren nicht addieren.
2) Was bewirkte hier die Eichinvarianz des Vektorpotentials?
Und last not least:
3) Wäre es überhaupt konsistent, das Magnetpotential hier einzubringen? Magnetismus kann bekanntlich als relativistischer Effekt beschrieben werden. Die Schrödinger-Gleichung ist aber nicht relativistisch.

Grüsse,

Solkar

Herleitung Riemanntensor

Mon, 21 Sep 2009 19:41:23 +0200

Hab der Übersicht halber einfach mal ein neues Thema aufgemacht...

Hab (wieder mal) einige grundlegende Fragen diesmal bezgl. dem Riemannschen Krümmungstensor...

Zunächst einmal:

1, Es gibt ja den Begriff der Parallelverschiebung.
Wenn ich im ungekrümmten Raum einen Vektor entlang einer Bahn A verschiebe und wieder zum Ausgangspunkt zurück komme hat sich am Vektor nichts geändert. Und das ist völlig egal welchen Weg ich dafür verwende...

Wenn ich mich aber nun in einem gekrümmten Raum befinde ist dies anders.
Wenn ich den Vektor entlang des Wegs A verschiebe und danach entlang des Wegs B besteht ein Unterschied in der Ausrichtung des Vektors er hat sich also gedreht.

Soviel zur Theorie, ich kann mir das aber leider nicht vorstellen.

Zum beispiel auf der Kugeloberfläche: (Kugel ist ja gekrümmt)
Ich stelle mir einen Vektor am Äquator vor der senkrecht auf die Erdoberfläche steht also zB auf einen best Stern im All zeigt.
Ich verschiebe danach diesen Vektor entlang des Äquators:

Nach einer halben Umrundung der Erde zeigt aber dieser Vektor immer noch in die gleiche Richtung (durch die Erde durch) und nach einer Umdrehung hat sich die Richtung nciht geändert so wie ich mir das vorstelle.

Hab ich da was wichtiges übersehen oder funktioniert dieses Verdrehen nur wenn die Krümmung nciht an allen Punkten gleich ist (wie bei einer Kugel)???

2, Herleitung des Tensors:

Irgendwie kommt mir diese Herleitung ziemlich willkürlich vor.

Es wird eine Invariante nach einem Parameter abgeleitet und das dreimal, wobei zwischendurch die Geodätengleichung zur Umformung benutzt wird:

Da stellt sich schon die erste Frage: Der Riemannsche Tensor dürfte dann nur in genau jenem Raum gelten, in dem die RT existiert, da auch nur darin die Geodätengleichung so gelten wie sie zur Umformung verwendet werden.
Denn man kann die Geodäten doch nicht für eine Umformung benutzen bei der ein Tensor hervor kommt, der nichts mit der RT zu tun hat?!

Danach werden Indizes umbenannt und die Terme voneinander abgezogen und das Ergebnis dieser eher willkürlich anmutenden Wurschtelei wird dann einfach so (ohne Beweis?) als Riemannscher Krümmungstensor definiert.

Was ich damit sagen will: Ich kann doch das ganze noch mal ableiten und wieder die Indizes vertauschen abziehen und dies dann als neuen Tensor definiereen?! Woher soll ich wissen dass dies dann irgendeinen physikalischen Sinn hat und nicht bloß nette mathematische Spielerei war?!

Feldgleichungen für 2 Körper nicht lösbar?!

Thu, 03 Sep 2009 22:44:26 +0200

Hab grade eben in einem (wohlgemerkt populärwissenschaftlichem) Magazin gelesen (PM), dass die Einsteinschen Feldgleichungen für 2 Körper keine richtige Lösung besitzen, dass nämlich die ausgeübte Kraft laut Feldgleichungen gleich Null wäre.

Dies hat dann ein Physiker versucht zu beheben, indem er einen zusätzlichen Term in dei Gleichungen einfügte, allerdings wird dies nicht anerkannt...

Stimmt dies so, oder ist das Schwachsinn?

lg Ein-stein

Allgemeine Fragen bzgl ART

Thu, 27 Aug 2009 14:13:22 +0200

Hi
Kenn diese Seite jetzt schon länger und ich muss echt sagen, dies ist die einzige Seite die ich im ganzen Web gefunden habe, wo die ART mit mathematischen Mitteln gut verständlich dargestellt wird, echt genial

Dennoch hab ich einige grundlegende Fragen bzgl der mathematischen Struktur der ART.
Kann sein, dass manche Fragen vlt ziemlich blöd sind, aber leider komm ich echt nicht weiter, gehe auch noch Schule, daher sind meine mathematischen kenntnisse jetzt nicht so umfassend...

1, Hab auf dieser Seite hier gefunden: Variationsprinzip

Ganz am Anfang wird hier die Lagrangefunktion als (ds/dl)² definiert. l... lambda

Wie kommt man auf diese Darstellung? Eig. gilt doch L = T - U oder kann man das nicht so allgemein darstellen?

2, Beim Wegelement oder der Vierergeschw. zB kommt es oft vor, dass diese einen bestimmten Wert haben, zB ist:

ds² = g_un dx^u dx^n = c²dtau² oder
u^u u_u = c² (der Index u ist my und n ist ny)

Ich komm einfach nicht drauf wie man darauf kommt?! ich schaffs nicht das auszurechnen, wie berechnet sich das?

3, Bei der Ableitung von Tensoren nach einer Koordinaten wird öfter die Kettenregel angewendet, dabei wird die Ableitung "einfach nur um die partiellen Ableitungen nach neuen Koordinaten erweitert" (nicht ganz korrekt ausgedrückt).

Aber woher weiß ich, wie oft ich die Kettenregel anwenden muss, bei normalen Funktionen ist das ja logisch, da sehe ich ja wie viele g(f(x)) also Abhängigkeiten ich habe, aber wo sehe ich das bei Tensoren?
Hab mir überlegt, dass ich es an der Anzahl der Indizes sehe, also bei einem Index Kettenregel einmal anwenden und bei 2 doppelt??

D T_un/Dx^a = D T_un/Dc * Dc/Db * Db/Da
DT_u/Dx^a = D T_u/D_b * Db/Da

D... partielle Ableitung
a... x^a

Stimmt das so? Oder gibts da nen anderen Trick?

4, Außerdem hab ich öfter gesehen, dass in manchen Termen das Symbol der partiellen Ableitung in den ganzen Nennern zB 3 mal vorkommt und in den ganzen Zählern des Terms aber nur 2 mal und dafür aber ein dx^a also die totale Abelitung

Hat das was zu bedeuten oder sind die so vertauschbar, was ich jetzt mal bezweifel...

5, Im Kapitel Geodäten:

wird Dw (partielle Ableitung, eig. Variationsableitung, von omega) berechnet, wobei w² = g_un dx^u/dl dx^n/dl

Hierbei muss doch das ganz normal wie bei einer totalen Ableitung berechnet werden oder? Hab nirgends gefunden, dass es für Variationsableitungen spezielle Regeln gibt.

Wie wird das ganz genau abgeleitet, das verstehe ich nicht, leider...

Sorry, für die oft ganz schön blöden Fragen, aber ich komm einfach nciht weiter...

Streumatrizen für relativistische Ensembles

Mon, 20 Jul 2009 19:12:20 +0200

Hallo!

Ich möchte Kollisionsensembles mit relativistischen Energien (CM ca. a*1.5*10^15eV ) vergleichen - z.B. H+/H+ mit Fe/O od. Fe/O mit Pb/Pb etc

Dazu will die die einzelnen Ensemble nicht getrennt berechnen sondern die Rechnung möglichst dadurch vereinfachen, dass gleiche Terme früh eleminiert werden können.

In diesem Paper Handbook of perturbative QCD

findet sich dazu auf S.21

eq.(2.17)

zur Streumatrix

Jenes "S" ist also ein Funktional auf

,

Da obiges (2.17) zwar "fies" aussieht, aber dem, was ich suche, schon recht nahe kommt, suche ich also eine Möglichkeit (2.17) auf Eingangstensoren beliebigen Ranges > 2 zu verallgemeinern - ohne die gesamte QCD aufrollen zu müssen.

Geht das?
Hat jemand eine andere - vergleichbar einfache - Idee?

Beste Grüsse,

Solkar

LaTeX - Formeln im Forum

Sun, 05 Jul 2009 09:33:41 +0200

Liebe Foren-User,

ich habe nun LaTeX auf dem Server installiert. Es funktioniert zwar schon, allerdings noch nicht genau so, wie ich es mir wünsche. Wenn zwischendurch mal eine Formel weg ist, experimentiere ich ein wenig

Ihr müsst die Formeln in einen Tex-Tag packen, der mit [ tex ] beginnt (bitte Leerzeichen nach der ersten eckigen und vor der letzten eckigen Klammer weglassen) und mit [ /text ] endet.

Beispiel 1:

entspricht

[ tex ]g_{\mu}_{\nu}dx^{\mu}dx^{\nu}[ /tex ]

Beispiel 2:

entspricht

[ tex ]\int_0^\infty \frac{x^3}{\sqrt {8 \cdot x}} dx[ /tex ]

Eine nette Wikihilfe zum Formelkram findet Ihr hier:

Differentialformenkalkül bei "Forster - Analysis 3"

Thu, 25 Jun 2009 19:49:04 +0200

Hallo!

Ich habe vor einigen Jahren die Mathematikvorlesungen

- Lineare Algebra
- Analysis I
- Analysis II
- Funktionentheorie

für Physiker gehört.

Für "Analysis II" wurde u.a. die 3.Auflage von

Otto Forster
Analysis 3
Integralrechnung im R^n mit Anwendungen
Reihe Vieweg Studium - Aufbaukurs Mathematik

empfohlen; damals wars vmtl die 3. Auflage, jetzt habe ich die

4.Auflage
Vieweg, Wiesbaden 2007
ISBN 978-3-528-37252-1

Der, imo hervorragende, Mathematikprofessor, der damals las, hatte eine Beschränkung in der Stoffauswahl vorgenommen, wie sie z.B. auch Prof. Forster im Vorwort seines Buches empfiehlt:

"[...]Der Umfang des dargestellten Stoffes ist zuviel für eine einsemestrige Vorlesung. So muss der Dozent eine Auswahl treffen. Als eine Möglichkeit bietet sich an, die Integrationstheorie ohne den Differentialformenkalkül bis zum Gaußschen Integralsatz mit seinen Anwendungen zu bringen, [...]"

Unser Dozent behandelte Differentialformen kurz, aber für die weitere VL zureichend und setzte den Schwerpunkt dann auf die klassische Formulierung der Integralsätze von Gauss, Stokes und Green - das war sehr hilfreich für unsere Pflichtveranstaltung über die Maxwell'sche Theorie.

Somit blieben Diff´formen bei mir etwas am Rande liegen; jetzt brauch ich den(*) Kalkül aber sowohl für meine Arbeit (3D Algorithmen) als auch für mein "Hobby" Physik.

Zum "Forster 3" gibt es leider kein Lösungsbuch wie zu den ersten beiden Bänden, deshalb würde ich gerne mal die einschlägigen §§19ff. mit jemandem diskutieren, die/der den Band auch gerade bearbeitet.

MIt freundlichen Grüssen,

Solkar

P.S.: (*)an den maskulinen Genus jenes mathematischen Begriffes kann ich mich nur schwer gewöhnen, aber ich versuch's mal...