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Solkar · 26.09.2009, 14:15

Irgendwie habe ich grade selbst den Eindruck, Phantome zu jagen, aber anyway:

In der Schrödingergleichung
$i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\Psi(\vec{r},t) = \hat{H}\Psi(\vec{r},t)$
steckt rechts ein skalares, zeitunabhängiges Potential $V$ im Hamiltonian:
$i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\Psi(\vec{r},t) = -\frac{\hbar^2}{2m} \Delta \Psi(\vec{r},t) + V(\vec{r})\Psi(\vec{r},t)$

Fragen dazu:

1) Wie ginge man dabei eigentlich mit dem magnetischen Vektorpotential $\vec{A}$ um? "Irgendwas" wird man "mit" dem Hamiltonian tun müssen, da sich Skalare und Vektoren nicht addieren.
2) Was bewirkte hier die Eichinvarianz des Vektorpotentials?
Und last not least:
3) Wäre es überhaupt konsistent, das Magnetpotential hier einzubringen? Magnetismus kann bekanntlich als relativistischer Effekt beschrieben werden. Die Schrödinger-Gleichung ist aber nicht relativistisch.

Grüsse,

Solkar

***Einsteins-Erben*** · (Dieser Beitrag wurde zuletzt bearbeitet: 26.09.2009 18:38 von Einsteins-Erben.)

Eine sehr gute Frage. Die Schrödingergleichung ist eine nicht-relativistische Gleichung, die aus der Diracgleichung hervorgeht für kleine Energien im Vergleich zur Ruhemasse. Beim Wasserstoffatom ist dies der Fall, da die Energienviveaus im Elektronenvolt-Bereich liegen und die Masse des Elektrons ca. 511 000 Elektronenvolt beträgt. Das Vektorpotential gewinnt auch in der Schrödingergleichung an Bedeutung, wenn man z.B. Übergangswahrscheinlichkeiten zwischen verschiedenen Energieniveaus betrachtet. In der Schrödingergleichung fügt man hierzu Terme kleinerer Ordnung hinzu, die das Vektorpotential und den Elektronenimpuls beinhalten. Diese Form der Schrödingergleichung

$i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\Psi(\vec{r},t) = -\frac{\hbar^2}{2m} \Delta \Psi(\vec{r},t) + V(\vec{r})\Psi(\vec{r},t)$

ist quasi die 0. Näherung, also der größte Term mit dem Coulombpotential V. Den Hamiltonoperator kann man natürlich in beliebiger Ordnung weiterentwickeln. Zu einer Wechselwirkung in der Quantenmechanik gelangt man mit Hilfe von Eichtransformationen, d.h. man ersetzt die Ableitungen (in Viererschreibweise mit (V, Ax, Ay, Az), V = Zeitkomponente und (d/dt, d/dx, d/dy, d/dz) von 0-3 durchnummeriert beginnend mit der Zeitkomponente 0, x = 1, y = 2 und z = 3) durch die kovariante Ableitung:

$\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}$ -> $\frac{\partial}{\partial x^{\mu}} + i \cdot e \cdot A_{\mu}$

mit der Elementarladung e.

Wir erkennen hier schon den Zeiitanteil in der Schrödingergleichung:

$\frac{\partial}{\partial t} + i \cdot e \cdot V$

Zurück zur Diracgleichung mit elektromagnetischer Wechselwirkung. Diese lautet (die Plancksche Konstante setzt man aus Faulheit 1):

$i \gamma^{\mu} (\frac{\partial}{\partial x^{\mu}} + i \cdot e A_{\mu})\Psi= m \cdot \Psi$

wobei m die Ruhemasse des Elektrons ist. Führt man nun die nichtrelativistische Näherung durch, gelangt man zur obigen Schrödingergleichung inklusive aller zusätzlichen Wechselwirkungsterme, auch mit dem Vektorpotential.

Solkar · 27.09.2009, 10:19

Hallo Boris!

Vielen Dank für die Erklärung; eine ungefähre Ahnung wie man vorgeht hab ich jetzt (glaub ich zumindest Big Grin

).

---

Jetzt versuche ich erstmal mein liebgewonnenes Schrödingersches " $\Psi$ " irgendwo am Horizont zu sichten.

Laienansatz:

Die Dirac'schen - $\psi$ Spinoren sind ja afaik "irgendwie auch" Spaltenvektoren.

Ein Laie wie ich darf Deine letzte Gleichung ja vlt auch mal so schreiben:
$i \gamma^{\mu} (\frac{\partial}{\partial x^{\mu}} + i \cdot e A_{\mu})\vec{\psi}= m \cdot \vec{\psi}$
ohne dass sich mitlesende Physiker und Mathematiker gleich am liebsten wegtunneln würden.
(Oder? Smile

)

Käme ich so in etwa zu meinem Schrödingerschen " $\Psi$ ":
$\Psi = C \cdot \overline{\vec{\psi}} \vec{\psi} = C \cdot (\vec{\psi}^T\cdot \gamma^0) \cdot \vec{\psi}$
("C" sei irgendeine sinnige Konstante)

?

Grüsse,

Solkar

***Einsteins-Erben*** · (Dieser Beitrag wurde zuletzt bearbeitet: 27.09.2009 12:42 von Einsteins-Erben.)

Hallo Solkar,

nene Smile

so kommst Du von dirac nicht zu Schrödinger. Erst einmal die Wellenfunktion

$\psi$

ist ein Spaltenvekror (Viererspinor) und die

$\gamma^{\mu}$

sind Hermitische Matrizen (4 X 4). Zu Schrödinger gelangt man nicht so einfach. man soaltet zunächst den Viererspinor auf in zwei zweikomponentige und macht einen Ansatz

$\psi = \psi^' \cdot e^{-i \cdot m \cdot t}$

wobei m die Ruhemasse ist und die Planck-Konstante und die Lichtgeschwindigkeit 1 gesetzt sind (pure gängige Faulheit). Dann sortiert man die sich ergebene Gleichung nach termen 0. ordung und erhält eine Gleichung für die beiden Zweierspinoren. Damit eliminiert man in dem übrig gebliebenen Teil 1. Ordung (also kleiner als der 0. Ordnung) den einen Spinor und rechnet weiter. Zum Schluss erhält man die Pauligleichung (Schrödingergleichung mit Coulombpotential und Spin-Bahnkopplung), also voller elektromagnetischer Wechselwirkung in 1. Ordnung. Ist nicht so einfach, kann Dir aber mal via Mail einen Scan schicken für die genaue Herleitung (oder ich füge sie hier mal auf Wunsch formeltechnisch hinzu).

Solkar · 27.09.2009, 13:45

Hallo Boris!

Dass die $\gamma^{\mu}$ hermitische Matrizen sind, war mir klar, obwohl meine Schreibweise nicht eindeutig war. (Das "hermitisch" hätte ich vmtl in einer mündlichen Prüfung glatt unterschlagen, aber das erzähl ich ja niemandem ... Wink

)

Aber zumindest haben sie 4 Zeilen und Spalten und man kann sie mit einer 1x4-Matrix (Zeilenvektor) links von ihr oder mit einer 4x1 Matrix (Spaltenvektor) rechts von ihr multiplizieren; ich wollte den Spinor/Spaltenvektor transponieren und dann linksstehend mit der $\gamma-$ Matrix multiplizieren - ein Zeilenvektor bliebe übrig und mit dem und dem original $\vec{\psi}$ würde man als Skalarprodukt eine komplexe Funktion erhalten. Mathematisch sollte das also schon gehen, aber so wie ich Dich verstehe, macht das wohl physikalisch keinen Sinn.

Oder?

Diese Gleichung

(27.09.2009 12:41)Einsteins-Erben schrieb: und macht einen Ansatz
$\psi = \psi^' \cdot e^{-i \cdot m \cdot t}$

erinnert mich an diese
$\psi = \omega_{\vec{p}} \cdot e^{-ipx}$
von der
WikiPage zum Dirac-Spinor
Da die Exponenten eh dimensionslos sein müssen, sollte man das doch eineinander umformen können, oder steh ich grade völlig im Wald?

(27.09.2009 12:41)Einsteins-Erben schrieb: Damit eliminiert man in dem übrig gebliebenen Teil 1. Ordung (also kleiner als der 0. Ordnung) den einen Spinor und rechnet weiter. Zum Schluss erhält man die Pauligleichung (Schrödingergleichung mit Coulombpotential und Spin-Bahnkopplung), also voller elektromagnetischer Wechselwirkung in 1. Ordnung. Ist nicht so einfach, kann Dir aber mal via Mail einen Scan schicken für die genaue Herleitung

Wenn Du Dir die Arbeit machen würdest die Herleitung handschriftlich auszuführen wäre das toll! (E-Mail kommt per PN).

Grüsse,

Solkar