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Ein-stein · 21.09.2009, 19:41

Hab der Übersicht halber einfach mal ein neues Thema aufgemacht...

Hab (wieder mal) einige grundlegende Fragen diesmal bezgl. dem Riemannschen Krümmungstensor...

Zunächst einmal:

1, Es gibt ja den Begriff der Parallelverschiebung.
Wenn ich im ungekrümmten Raum einen Vektor entlang einer Bahn A verschiebe und wieder zum Ausgangspunkt zurück komme hat sich am Vektor nichts geändert. Und das ist völlig egal welchen Weg ich dafür verwende...

Wenn ich mich aber nun in einem gekrümmten Raum befinde ist dies anders.
Wenn ich den Vektor entlang des Wegs A verschiebe und danach entlang des Wegs B besteht ein Unterschied in der Ausrichtung des Vektors er hat sich also gedreht.

Soviel zur Theorie, ich kann mir das aber leider nicht vorstellen.

Zum beispiel auf der Kugeloberfläche: (Kugel ist ja gekrümmt)
Ich stelle mir einen Vektor am Äquator vor der senkrecht auf die Erdoberfläche steht also zB auf einen best Stern im All zeigt.
Ich verschiebe danach diesen Vektor entlang des Äquators:

Nach einer halben Umrundung der Erde zeigt aber dieser Vektor immer noch in die gleiche Richtung (durch die Erde durch) und nach einer Umdrehung hat sich die Richtung nciht geändert so wie ich mir das vorstelle.

Hab ich da was wichtiges übersehen oder funktioniert dieses Verdrehen nur wenn die Krümmung nciht an allen Punkten gleich ist (wie bei einer Kugel)???

2, Herleitung des Tensors:

Irgendwie kommt mir diese Herleitung ziemlich willkürlich vor.

Es wird eine Invariante nach einem Parameter abgeleitet und das dreimal, wobei zwischendurch die Geodätengleichung zur Umformung benutzt wird:

Da stellt sich schon die erste Frage: Der Riemannsche Tensor dürfte dann nur in genau jenem Raum gelten, in dem die RT existiert, da auch nur darin die Geodätengleichung so gelten wie sie zur Umformung verwendet werden.
Denn man kann die Geodäten doch nicht für eine Umformung benutzen bei der ein Tensor hervor kommt, der nichts mit der RT zu tun hat?!

Danach werden Indizes umbenannt und die Terme voneinander abgezogen und das Ergebnis dieser eher willkürlich anmutenden Wurschtelei wird dann einfach so (ohne Beweis?) als Riemannscher Krümmungstensor definiert.

Was ich damit sagen will: Ich kann doch das ganze noch mal ableiten und wieder die Indizes vertauschen abziehen und dies dann als neuen Tensor definiereen?! Woher soll ich wissen dass dies dann irgendeinen physikalischen Sinn hat und nicht bloß nette mathematische Spielerei war?!

***Einsteins-Erben*** · 21.09.2009, 20:24

Hallo Ein-Stein,

die Parallelverschiebung im gekrümmten raum ist in der Tat schwer zu verstehen, aber das mache ich mir nicht zum Problem. man muss damit nur rechnen können Idea

Die Herleitung des Riemannschen Krümmungstensors ist nicht unbedingt aus einem Guss. Man geht eher so heran, dass man einen Tensor 2. Stufe sucht, der sich aus dem Metriktensor und den ersten und zweiten Ableitungen des Metriktensors bilden lässt. das ist etwas unbefriedigend, deshalb habe ich einen allgemeineren Weg vorgeschlagen zur Generierung von Feldstärketensoren, wie es aus der Quantenmechanik bekannt ist (Kommutatortechnik):

http://www.einsteins-erben.de/erben2.php?men=erb

Ein-stein · (Dieser Beitrag wurde zuletzt bearbeitet: 22.09.2009 00:10 von Ein-stein.)

Naja, aber es wäre doch sehr hilfreich wenn man die Dinge auch versteht mit denen man rechnet oder?

Von Kommutatortechnik hab ich noch nix gehört, hat das mit dem "Kommutator" was zu tun?

"In der Mathematik misst der Kommutator (lat. commutare vertauschen), wie sehr zwei Elemente einer Gruppe oder einer assoziativen Algebra das Kommutativgesetz verletzen." Wikipedia

Hab das schon mal in der QM gesehn:
x, p (beides Operatoren ich lass das ^ weg...)
h (eig. h_quer)

Der Orts-Impulskommutator berechnet sich wie folgt:

[x,p]f = (xp - px)f

xp: "multipliziere mit -i*h ,leite die Funktion nach x ab und multipliziere dann mit x "

Nur woher kenne ich diese Vorschrift??

xp = -ih* df/dx * x
px = f * x * d/dx * -ih = -ih f -ih df/dx x (produktregel)

(xp-px)f = -ih df/dx x + ih f + ih df/dx x
[x,p]f = ih f

Der Kommutator [x,p] = ih gibt mir dann an ob ich die Multiplikation vertauschen darf (in dem Fall nciht da nicht gleich Null)

Nur der Zusammenhang is mir hier nicht ganz klar...

Anscheinend möchte ich hier statt [x,p] den Kommutator [D/Dx^m , D/Dx^n] berechnen. Geht das nicht nur mit Operatoren wie es bei x und p der Fall ist?
Und warum wird der Kommutator hier auf die Basisvektoren angewendet statt auf eine Funktion wie in der QM???

Hab mir jetzt ein paar Wikiseiten angesehen und bin glaub ich etwas schlauer:

QM: Es geht hauptsächlich um die Wellenfunktion die ja auch Lösung der SGL ist Psi. Daher wird der Kommutator hier auf die Funktion angewendet.

Die Vorschrift: xp: "multipliziere mit -i*h ,leite die Funktion nach x ab und multipliziere dann mit x " ist einfach die Definition des Impulsoperators, naja bis auf das x, das kommt durch das x * p hinzu, denn p = -ih D/Dx oder?

ART: Hier spielen die Basisvektoren die tragende Rolle, denn deren Ableitung verschwindet nicht im gekrümmten Raum (Christoffelsymbole) daher wird der Kommutator auf die Basisvektoren anstatt auf eine Funktion angewandt, oder?

Nur woher weiß ich dass genau [D/Dx^m , D/Dx^n] der gesuchte Kommutator ist und vor allem wie berechnet sich das ganze jetzt genau?

$g^{\alpha}_{,\mu} = - \Gamma^{\alpha}_{\mu\nu} g^{\nu}$

Jetzt habe ich zu berechnen:

$[\frac{\partial}{\partial x^{\mu}} , \frac{\partial}{\partial x^{\nu}}] g^{\alpha}$

Würde ich jetzt mal so machen:

$\frac{\partial}{\partial x^{\mu}} = \partial_{\mu}$

Vorschrift: Leite den Basisvektor einmal partiell nach x^m ab und danach partiell nach x^n --> D_m D_n

$\partial_{\mu} \partial_{\nu} g^{\alpha} = g^{\alpha}_{,\mu} \partial_{\nu} = - \Gamma^{\alpha}_{\mu \gamma} g^{\gamma} \partial_{\nu} = - \Gamma^{\alpha}_{\mu \gamma , \nu} g^{\gamma}$

Das wäre der erste Term. D_n D_m darauf komme ich auf die gleiche Art und zwar auf:

$\partial_{\nu} \partial_{\mu} g^{\alpha} = -\Gamma^{\alpha}_{\nu \gamma , \mu} g^{\alpha}$

Dann muss ich berechnen:

D_m D_n - D_n D_m =

$- \Gamma^{\alpha}_{\mu \gamma , \nu} g^{\gamma} + \Gamma^{\alpha}_{\nu \gamma , \mu} g^{\alpha}$

Nur stimmen hier die Vorzeichen nicht ganz und mir fehlt iwie der Rest wo jeweils zwei Christoffelsymbole miteinander multipliziert werden, ich vermute ich hab iwie Abhängigkeiten der Basisvektoren von anderen Kooridnaten oder so vergessen...

***Einsteins-Erben*** · 22.09.2009, 11:02

Nun, man kann mit Sicherheit nicht alles bildlich erfassen, was die mathematische Physik so hergibt. Wie denn auch? Wir können uns gerade mal so dreidimensional orientieren und nehmen ein beschränktes elektromagnetisches Spektrum wahr.

Mit der Kommutatortechnik liegst Du richtig. Man gelangt sehr allgemein zu den Feldstärketensoren, wenn man die kovarianten Aleitungen (im Sinne der Quantenmechanik also mit minimaler Kopplung) komponentenweise (also d/dx + i*A_x usw) miteinander vertauscht. Wendet man diesen Kommutator auf die Basisvektoren des R4 an, gelangt man zum Riemannschen Krümmungstensor. Worauf man den Kommutator anwendet, bleibt einem erst mal selbst überlassen. Warum nicht auf die Basisvektoren, wenn man dadurch die Feldstärketensoren aller uns bekannten Wechselwirkungen erhält?

Was Du da gerechnet hast, stimmt nicht. Wenn die eine Ableitung auf die Basisvektoren wirkt, wird der Basisvektor abgeleitet. Die Ableitung der Basis kann man richtig über die Christoffelsymbole auf die Basis zurückführen. Die zweite Ableitung wirkt dann aber auf das Gesamtergebnis (PRODUKTREGEL).

Ein-stein · (Dieser Beitrag wurde zuletzt bearbeitet: 22.09.2009 15:22 von Ein-stein.)

Es verhält sich hier also so, wie in der SRT: Man kann sich einfach nicht vorstellen wie es aussieht wenn man mit 0,9999c fliegt und einen Lichtstrahl trotzdem mit c davonfliegen sieht. Wir werden uns das wohl nie bildlich vorstellen können? Genauso wie die Verdrehung des Vektors beim Paralleltransport im gekrümmten Raum?!

Die Herleitung hab ich dann bis auf die Vorzeichen richtig gehabt gestern:

Ich verwende aber zunächst:

$g^{\alpha}_{,\mu} = - \Gamma^{\alpha}{\mu \beta} g^{\beta}$

und danach erst:
$g^{\beta}_{,\nu} = - \Gamma^{\beta}{\nu \gamma} g^{\gamma}$

Ansonsten geht mir das nciht auf:

$\partial_{\mu} g^{\alpha} \partial_{\nu} = - \partial_{\nu} \Gamma^{\alpha}{\mu \beta} g^{\beta} = -\Gamma^{\alpha}{\mu \beta , \nu} g^{\beta} - \Gamma^{\alpha}{\mu \beta} g^{\beta}_{,\nu} = -\Gamma^{\alpha}{\mu \beta , \nu} g^{\beta} + \Gamma^{\alpha}{\mu \beta} \Gamma^{\beta}{\nu \gamma} g^{\gamma}$

Und für d_nu d_mu bekomme ich:

$-\Gamma^{\alpha}{\nu \beta , \mu} g^{\beta} + \Gamma^{\alpha}{\nu \beta} \Gamma^{\beta}{\mu \gamma} g^{\gamma}$

Gesamt für den Krümmungstensor folglich:

$-\Gamma^{\alpha}{\mu \gamma , \nu} + \Gamma^{\alpha}{\mu \beta} \Gamma^{\beta}{\nu \gamma} + \Gamma^{\alpha}{\nu \gamma , \mu} - \Gamma^{\alpha}{\nu \beta} \Gamma^{\beta}{\mu \gamma}$

Dazu hab ich bei den Christoffelsymbolen die abgeleitet wurden folgendes verwendet um den Index beta durch gamma zu ersetzen:
g^beta = delta^beta_gamma g^gamma

Nur die Vorzeichen stimmen noch nciht ganz, warum muss ich mit -1 multiplizieren?

Problem kovariante Ableitung:

So wie ich das jetzt verstanden habe ist eine kovariante Ableitung immer auf einer gewissen mannigfaltigkeit definiert:
In der QM ist sie zum Beispiel so definiert:

$D_{\mu}\Phi = \partial_{\mu} \Phi + ie A_{\mu} \Phi$

Nur was genau ist hierbei dieses A_mu??

Spielt dieses A_mu in der QM die gleiche Rolle wie die Christoffelsymbole in der RT?

Denn in der ART ist deifniert:

$D_{\mu} u^k = \partial_{\mu} u^k + \Gamma^k_{\lambda \mu} u^{\lambda}$

In Wiki liest sich:

Wird in einer Eichtheorie die kovariante Ableitung eines Feldes Psi als D_m psi = (partial_m +A_m) psi definiert, wobei A_m ein Matrixpotential der Form
$A_{\mu} = - i t^{\alpha} A^{\alpha}_{\mu}$ mit hermitischen Matrizen t^a und reelen Funktionen A^a_m der Raumzeit ist, so ergibt sich der Feldstärketensor zu:

$F_{\mu \nu} = D_{\mu}D_{\nu} - D_{\nu}D_{\mu} = -i t^{\alpha} (\partial_{\mu} A^{\alpha}_{\nu} - \partial_{\nu} A^{\alpha}_{\mu} + f^{\alpha \beta \gamma} A^{\beta}_{\mu} A^{\gamma}_{\nu})$

f^abc ergeben sich aus dem Kommutator [t^a, t^b] = i t^abc t^c

Okay, eine Eichtheorie bedeutet, dass die von der Theorie vorhergesagten Wechselwirkungen sich nicht ändern, wenn eine bestimmte Größe lokal frei gewählt wird.
Was bedeutet das genau? Ist die ART eine Eichtheorie??

Was soll nun dieses "Matrixpotential" genau sein, was sind die hermitischen Matrizen und reelen Funktionen hier in der ART?

Hier wurde vor allem zur Herleitung nicht die kovarianten Ableitungen vertauscht sonder eben die partiellen Ableitungen:

$[\frac{\partial}{\partial x^{\mu}} , \frac{\partial}{\partial x^{\nu}}] g^{\alpha}$ z

Bei Feldgleichungen steht am Ende folgendes:

Es gibt auch noch einen saubereren Weg über ein ähnliches Variationsprinzip, wie wir es bei den Geodäten kennengelernt haben, jedoch sparen wir uns lieber zwei Seiten Formel-Kram.

Diese Kommutatortechnik ist dieses saubere Prinzip??

***Einsteins-Erben*** · 22.09.2009, 16:28

Schau mal zu der Komutatorenherleitung meine Website an unter dem Menüpunkt Erben.

Die Eichtheorien in der Quantenmechanik beruhen darauf, dass man berechtigter Weise annimt, dass die physikalischen Eigenschaften einer Wellenfunktion nicht von einer Phasenverschiebung abhängen sollen, d.h. die Differentialgleichungen, aus denen die Wellenfunktionen hervorgehen, sollen unabhängig von einer (lokalen) Phasentransformation sein:

$Psi^'=Psi\cdot e^{-i\cdot \rho(x^{\mu})}$

Leitet man nun die transformierte Wellenfunktion nach den Viererkoordinaten ab, so bleibt nach der Produktregel ein Anteil, der die Ableitung nach der Phase beinhaltet. Dieser Anteil kann durch ein Viererpotential (A) absorbiert werden. Die Bewegungsgleichungen für das transformierte Viererpotential sind dann dieselben wie die für das untransformierte. Deswegen führt man die kovariante Ableitung ein, damit alle Bewegungsgleichungen invariant gegenüber Phasentransformationen sind.

Die Gravitation ist keine Eichtheorie, alle anderen Wechselwirkungen (schwache, starke und elektromagnetische) sind Eichtheorien. In der U(1) Eichtheorie ist

$A_{\mu}$

das Vierer-Potential der elektromagnetischen Wechselwirkung. in der schwachen und starken Wechselwirkung sind die Eichtransformationen durch höherdimensionale unitäre Transformationen (Matrizen) gegeben. Den Eichformalismus habe ich mal hier angeschnitten:

http://www.einsteins-erben.de/erben2.php?men=erb

Du bist sehr eifrig, aber es fehlen dir noch einige mathematische Grundlagen, insbesondere in der Differentialgeometrie und Matrixrechnung. Das ist auch überhaupt kein Problem. Einige Dinge muss man etwas ruhen lassen, bis einem die Mathematik zugänglich ist. Lese Dich in Tensorrechnung für Ingenieure von Klingbeil und in die Matrixrechnung (lineare Algebra) ein, dann erklärt sich vieles von selbst.

Ein-stein · 22.09.2009, 17:28

Ja die Herleitung hab ich mir angesehen, allerdings sind die ganzen Zwischenschritte ausgelassen, es müsste doch eh stimmen bis auf einmal mit -1 zu multiplizieren oder?

Was bedeutet das anschaulich, dass sie gegenüber Phasenverschiebungen invariant sind?

Ja, die kovariante Ableitung wird auch eingeführt, damit ein abgeleiteter Tensor der in ein anderes System transformiert wurde wieder ein Tensor ist, was bei der partiellen Ableitung nicht immer der Fall ist, bei der kovarianten allerdings schon...

Dieses A_m in der Elektrodynamik ist also die Zusammenfassung der magnetischen und elektrischen Potentiale in einem Vierervektor?

Mit der Matrizenrechnung hab ich mich eh schon ziemlich beschäftigt bevor ich zu Tensoren überging...

Naja, Einstein brauchte immerhin auch fast 10 Jahre um die ART zu verstehen, warum soll ich das in einem Jahr schaffen?^^

***Einsteins-Erben*** · 22.09.2009, 18:30

In der Quantenmechanik existiert eine elementare Größe, die Wahrscheinlichkeitsdichte, welche das Betragsquadrat der Wellenfunktion ist. Da verschwindet jede Phasentransformation. Dies war u.a. der Anlass Invarianz der Wellenfunktion gegenüber Phasentransformationen zu fordern. Man muss immer unterscheiden zwischen Kovarianz in der Relativitätstheorie und der Quantenmechanik, das sind zwei unterschiedliche paar Schuhe. Das Viererpotential A fasst in der Tat magnetisches Potential (die 3 Raumkonponenten) und Coulombpotential (Zeitkomponente bei Zeitunabhängigkeit) zusammen.

ich bin sehr sicher, dass Du die Dinge schneller verstehen wirst als viele anderen. Aber in der Physik ist es wie mit einem guten wein, der reifen muss. Einstein hat auch oft die Dinge Jahre lang ruhen lassen, verworfen und gerungen, da dürfen wir Physiknormalos das erst recht Big Grin

Ein-stein · 22.09.2009, 22:24

Was genau ist denn eine Phasentransformation?

Bedeutet es, dass ich diesselbe Wellenfunktion erhalte auch wenn ich sie um einen Winkel verschiebe?
So wie man den Sinus um einen bestimmten Winkel verschieben kann (zB 360 Grad) und er genau gleich aussieht...?

Kovarianz in der RT bedeutet ja eig. dass die Gleichungen bei der Transformation in ein anderes System gleich sind, oder?

***Einsteins-Erben*** · 23.09.2009, 10:12

Eine Phasentransformation habe ich oben beschrieben (komplexe e-Funktion mit koordinatenabhängiger Phase). Die Phase hebt sich so beim Betragsquadrat der Wellenfunktion weg).

Das Kovarianzprinzip besagt die Gleichheit von Gesetzen unter bestimmten Koordinatentransformationen. In der Speziellen Relativitätstheorie z.B. die Invarianz unter Lorentztransformationen. Man versteht unter dem (erweiterten) Kovarianzprinzip der Relativitätstheorie aber auch, dass die Gesetze im Gravitationsfeld kovariante Gleichungen sind, die sich ohne Gravitation auf die Gesetze der Speziellen Relativitätstheorie reduzieren.