Baumstrukturmodus | Linearer Modus

Ein-stein · 27.08.2009, 14:13

Hi
Kenn diese Seite jetzt schon länger und ich muss echt sagen, dies ist die einzige Seite die ich im ganzen Web gefunden habe, wo die ART mit mathematischen Mitteln gut verständlich dargestellt wird, echt genial

Dennoch hab ich einige grundlegende Fragen bzgl der mathematischen Struktur der ART.
Kann sein, dass manche Fragen vlt ziemlich blöd sind, aber leider komm ich echt nicht weiter, gehe auch noch Schule, daher sind meine mathematischen kenntnisse jetzt nicht so umfassend...

1, Hab auf dieser Seite hier gefunden: Variationsprinzip

Ganz am Anfang wird hier die Lagrangefunktion als (ds/dl)² definiert. l... lambda

Wie kommt man auf diese Darstellung? Eig. gilt doch L = T - U oder kann man das nicht so allgemein darstellen?

2, Beim Wegelement oder der Vierergeschw. zB kommt es oft vor, dass diese einen bestimmten Wert haben, zB ist:

ds² = g_un dx^u dx^n = c²dtau² oder
u^u u_u = c² (der Index u ist my und n ist ny)

Ich komm einfach nicht drauf wie man darauf kommt?! ich schaffs nicht das auszurechnen, wie berechnet sich das?

3, Bei der Ableitung von Tensoren nach einer Koordinaten wird öfter die Kettenregel angewendet, dabei wird die Ableitung "einfach nur um die partiellen Ableitungen nach neuen Koordinaten erweitert" (nicht ganz korrekt ausgedrückt).

Aber woher weiß ich, wie oft ich die Kettenregel anwenden muss, bei normalen Funktionen ist das ja logisch, da sehe ich ja wie viele g(f(x)) also Abhängigkeiten ich habe, aber wo sehe ich das bei Tensoren?
Hab mir überlegt, dass ich es an der Anzahl der Indizes sehe, also bei einem Index Kettenregel einmal anwenden und bei 2 doppelt??

D T_un/Dx^a = D T_un/Dc * Dc/Db * Db/Da
DT_u/Dx^a = D T_u/D_b * Db/Da

D... partielle Ableitung
a... x^a

Stimmt das so? Oder gibts da nen anderen Trick?

4, Außerdem hab ich öfter gesehen, dass in manchen Termen das Symbol der partiellen Ableitung in den ganzen Nennern zB 3 mal vorkommt und in den ganzen Zählern des Terms aber nur 2 mal und dafür aber ein dx^a also die totale Abelitung

Hat das was zu bedeuten oder sind die so vertauschbar, was ich jetzt mal bezweifel...

5, Im Kapitel Geodäten:

wird Dw (partielle Ableitung, eig. Variationsableitung, von omega) berechnet, wobei w² = g_un dx^u/dl dx^n/dl

Hierbei muss doch das ganz normal wie bei einer totalen Ableitung berechnet werden oder? Hab nirgends gefunden, dass es für Variationsableitungen spezielle Regeln gibt.

Wie wird das ganz genau abgeleitet, das verstehe ich nicht, leider...

Sorry, für die oft ganz schön blöden Fragen, aber ich komm einfach nciht weiter...

***Einsteins-Erben*** · (Dieser Beitrag wurde zuletzt bearbeitet: 28.08.2009 09:04 von Einsteins-Erben.)

Hallo Ein-Stein,

erst einmal herzlich willkommen hier im Forum und vielen Dank für das Lob. Ich bin umso erfreuter, dass Du noch Schüler bist und Dich trotzdem schon für den alten Einstein und seine genialen Theorien interessierst. Und, dumme Fragen gibt es nicht, es ist nur dumm, nicht zu fragen. Zu Deinen Fragen:

1. Die Lagrangefunktion ist bei Kornelius nicht ganz richtig formuliert. Sie müsste mit der richtigen Dimensionierung so lauten:

$L=-m_{0}{\cdot}c{\cdot}\sqrt{g_{\mu}_{\nu}\frac{dx^{\mu}}{d\tau} \frac{dx^{\nu}}{d\tau}}=-m_{0}{\cdot}c{\cdot}\sqrt{u^{\mu}u_{\mu}}$

Dies steht nicht im Widerspruch zur klassischen Lagrangefunktion L = T - U. In dem Wegelement steckt relativistisch die kinetische Energie und die Potentielle des Gravitationsfeldes drin. Würde man eine nichtrelativistische Näherung des oberen L, welches über die Vierergeschwindigkeit gebildet wird, würde man auf den klassischen Ausdruck kommen.

2. $c^2 = u^{\mu}u_{\mu}$ gilt immer. Das Vierergeschwindigkeitsquadrat bildet die Invariante c^2, völlig unabhängig, in welchem Bezugssystem man sich befindet. Dies geht als kleines Beispiel sehr schön aus den Lorentztransformationen hervor, siehe hier. Ähnlch verhält es sich mit ds^2. Da gibt es nichts auszurechnen, denn $c^2 {d{\tau}}^2$ ist nur die Wahl eines speziellen Koordinatensystems, nämlich das Ruhesystem der Punktmasse m. ds^2 ist ebenfalls eine Invariante, d.h. hat in jedem Koordinatensystem (gegeben durch die Metrik und die Viererkoordinaten) denselben Wert.

3. Die partielle Ableitung von Tensoren geht genauso wie die von Funktionen. Die Kettenregel bezieht sich auf die Abhängigkeit der Tensoren (z.B. des Metriktensors) von den Viererkorrdinaten, die wiederum von dem Kurvenparameter/Eigenzeit Lambda oder Tau abhängt (ist dasselbe). Die Indizes der Tensoren spielen bei der Ableitung an sich überhaupt keine Rolle. Die Indizes sagen einem quasi nur, welches Tensorelement gerade betrachtet wird und jedes Tensorelement für sich ist eine Funktion der Viererkoordinaten.

4. Verstehe ich nicht ganz Shy

5. Sehr richtig, hier wird total abgeleitet. Die Variation kann als totales Differential betrachte werden, wobei das Omega eine Funktion der Viererkoordinaten und der Vierergeschwindigkeiten ist. Die Viererkoordinatenabhängigkeit steckt im Metriktensor.

Ein-stein · 28.08.2009, 00:09

Hi
Hab mich eig. schon mit 12 für die RT interessiert nur halt eben nicht mathematisch, das kam erst in der 6. klasse oder so...

ad 1,
Ach so, dann ist das klar und den Metriktensor kann man dann wohl einfach in die Wurzel reinziehen oder? Denn es wurde ja der Index runtergezogen und das Quadrat eines Tensors gibt es wohl nicht?! (g_un)² zum Beispiel

ad 2,
Ja, mir ist klar dass diese beiden Größen eine Invariante sind und somit koordinatenunabhängig sind, nur ich hab mich gefragt wie man eben auf die Werte der Invariante, also c² im einen und c² d tau² im andern fall kommt??

ad 3,
Ja, nur woher weiß ich von welchen und wie vielen Viererkoordinaten ein gewisser Tensor abhängt? Wenn er nur von einer Koordinate also x^b abhängt muss ich einmal kettenregel anwenden, wenn er aber zusätzlich noch von x^a abhängt muss ich sie ja zweimal anwenden, woher weiß ich das?

Ich hab mir gedacht, dass da ja die Indizes irgendwo die Abhängigkeit des Tensors von den Koordinaten widerspiegelt, ich einfach die kettenregel so oft anwenden muss wie die anzahhl der indizes. Also bei einem zweistufigen Tensor, muss ich die Regel dann eig. doppelt anwenden...

ad 4,
Hab mich etwas blöd ausgedrückt, Beispiel:

d/dl (A_n dx^n/dl) = D A_n/Dx^m * dx^m/dl * dx^n/dl + ...

Hier wird der Klammerausdruck nach l abgeleitet also d/dl. Aber im Term mit dem Tensor also bei der Ableitung des Tensors steht D A_n/Dx^m also eine partielle Ableitung...

Hier habe ich also durch die Kettenregel eig. um dx^m/Dx^m erweitert. Jetzt stellt sich mir die Frage inwiefern die verschiedenen Differentialbegriffe, also partielle und normale vertauscht werden können?

ad 5,
totales Differntial ist ja so definiert:

df = Df/Dx * dx + Df/Dy * dy + ...

Hier wird aber das totale Differntial von w = sqrt(g_mn dx^m/dl dx^n/dl) gebildet. Im Kapitel Geodäten wird also zunächst durch w dividiert?! Warum das? Jetzt hab ich im Ableitungsterm 1/w drin, oder nicht?

Wonach wird dann abgeleitet, was also ist das dx, dy usw???

PS: Wie kann ich hier solche Formeln einfügen? Geht das mit TEX?

***Einsteins-Erben*** · 28.08.2009, 09:25

Ups,

hatte mich verformelt, der Metriktensor steht natürlich in der Wurzel, habe es eben korrigiert.

$ds^2=g_{\mu}_{\nu}dx^{\mu}dx^{\nu}=c^2{d\tau}^2$

das aktzeptierts Du? Wenn ja, kommst Du sehr einfach auf c^2:

$({\frac{ds}{d\tau}})^2=g_{\mu}_{\nu}\frac{dx^{\mu}}{d\tau} \frac{dx^{\nu}}{d\tau}=u_{\mu}u^{\mu}=c^2$

D.h., man hat einfach durch dtau^2 geteilt.

Die Kettenregel musst Du doch nur anwenden, wenn ein Tensor/eine Funktion von Koordinaten abhängen, die wiederum von einer anderen Koordinaten abhängen, also z.B. f(g(x)). f(x,y,z) ist etwas anderes. Von welchen Koordinaten ein Tensor nun abhängt, hängt quasi von Dir und Deinem Ansatz ab. Möchtest Du ein stationäres Problem behandel, hängt Dein Tensor z.B. nicht mehr von der Zeit ab.

Die Vertauschung der Ableitungsreihenfolge ist mathematisch nicht selbstverständlich, ist aber oft möglich, insbesondere macht es der theoretische Physiker gerne. Streng genommen müsste man die Vertauschbarkeit erst beweisen.

Bei der Herleitung der Geodätengleichung habe ich das Differntial auf w^2 angewendet. Und die Ableitung eines Funktionquadrates ergibt erst mal 2 * die Funktion * die innere Ableitung:

d(w^2) = 2w*dw

Schau mal unten unter Sonstiges -> LaTex, da findest Du eine Hilfe zum Basteln von Formeln unter LaTex.

Gruß Boris

Ein-stein · (Dieser Beitrag wurde zuletzt bearbeitet: 28.08.2009 11:55 von Ein-stein.)

Okay, super, nur wie man auf
$ds^2 = c^2 d\tau^2$
kommt check ich leider auch nicht...
Muss man ein bestimmtes Bezugssystem wählen?

Nun, aber dann muss man ja auch vor jedem Rechenschritt einmal genau definieren, ob und von wie vielen Koordinaten mein betrachteter Tensor abhängt.
Ich vermute, dass bei verschiedenen Metriken schon Definitionen dafür gefunden wurden. Das heißt man rechnet zum Beispiel in der Minkowskimetrik mit Energie-Impulstensoren und schaut dann in ner Tabelle nach, von wie vielen Koordinaten der Tensor hier abhängt (also eig. hängt er von Koordinaten ab, die wiederum von anderen abhängen, nur wie kann man sich das anschaulich vorstellen? sind damit Koordinaten wie Kugel oder Zylinderkoordinaten gemeint?)

Wenn man aber Einsteingleichungen herleitet, sollten diese doch so allgemein wie möglich sein, daher würde ich annehmen, dass man bei der Ableitung auch Zeit betrachten muss nicht nur die Abhängigkeit der Koordinaten...

So wie ich das sehe, sicherlich falsch, wurde $\omega^2 = g_{\mu}_{\nu} \frac{dx^{\mu}}{d\lambda} \frac{dx^{\nu}}{d \lambda}$
durch $\omega$ dividiert und danach nach x^a abgeleitet:

$\partial \omega = \frac{1}{\omega} \left(\frac{\partial g_{\mu}_{\nu}}{\partial x^\alpha} \frac{dx^{\mu}}{d\lambda} \frac{dx^{\nu}}{d \lambda} \partial x^\alpha + g_{\mu}_{\nu} \dots \right)$

So wie ich das sehe, muss also x^a von der Koordinate x^n abhängen, da bei dem zweiten Teil der Produktregel der Index des Metriktensors getauscht wurde, nur diesen zweiten Teil verstehe ich nicht ganz, ich vermute es wird abgeleitet nach $\frac{d x^\alpha}{d\lambda}$ . Und irgendwie wurde dann auch der Index getauscht, nur wie?! Ach ja und ein 1/2 fehlt mir noch...

Ich komm irgendwie nicht weiter...

***Einsteins-Erben*** · 28.08.2009, 14:23

$ds^2=g_{\mu}_{\nu}dx^{\mu}dx^{\nu}=c^2{d\tau}^2$

Letzer Ausdruck ist in der Tat ein spezielles Bezugssystem, nämlich das Ruhesystem der Masse. Da sich die Probemasse dort nicht bewegt, ist dx=dy=dz=0 und es bleibt nur die Eigenzeit dtau.

Man geht in der Tat so vor bei der Wahl der Koordiantenabhängigkeit seines Metriktensors. Erst einmal sucht man ein geeignetes Koordinatensystem (Kugelkoordinaten, kartesische usw.). Dann überlegt man, ob eine Zeitabhängigkeit vorliegt und auch wirklich alle Koordinaten benötigt werden. Der Ansatz steckt dann oft im ds^2 selbst. daraus ließt man dann die Komponenten des Metriktensors ab. Ein klassisches Beispiel ist die Schwarzschildmetrik (Kugelkoordinaten und Zeitunabhängigkeit).

Die Einsteinschen Feldgleichungen umfassen die allgemeinste Koordinatenabhängigkeit (Raumkoordinaten und die Zeitkoordinate).

Bei

$\omega^2 = g_{\mu}_{\nu} \frac{dx^{\mu}}{d\lambda} \frac{dx^{\nu}}{d \lambda}$

musst Du die Variation (das Differential) auf beiden Seiten anwenden und dann nach dw auflösen. Die Variation ist die Variation aller möglichen Bewegungskurven von A nach B (siehe dazu meine Grafik im Geodätenkapitel). Die Variationen hängen einzig von dem Kurvenparameter (Eigenzeit) ab. Ich finde die Stelle nicht, die Dir bezüglich der Metriktensorindizes Probleme bereitet. Aber beachte: wird über gleiche Indizes (oben und unten) aufsummiert, kann man deren Bezeichnung beliebig ändern, und, der Metriktensor ist in seinen Indizes symmetrisch (aufgrund des Ansatzes von ds^2), deshalb kann man die Reihenfolge seiner Indizes vertauschen.

Ein-stein · 28.08.2009, 15:06

Ach so, daher kommt das w und 1/2, denn links steht noch:

$2\omega \partial \omega$

Bei:

$2 \partial \omega = \frac{1}{\omega} \left(\frac{\partial g_{\mu}_{\nu}}{\partial x^\alpha} \frac{dx^{\mu}}{d\lambda} \frac{dx^{\nu}}{d \lambda} \partial x^\alpha + g_{\mu}_{\alpha} \frac{dx^{\mu}}{d\lambda} \partial \left(\frac{dx^{\alpha}}{d\lambda}\right) \right)$

Hier steht bei der Anwendung der Produktregel beim Metriktensor plötzlich statt dem Index nü ein alpha, ich hab mich eben gefragt wieso?

Wegen der Tensorableitung: Das ist eh klar wie das gemacht wird, ist zeitunabhängigkeit gegeben kann man halt die 4 Komponente vernachlässigen, wie eben bei der Schwarzschildlösung Winkelabhängigkeiten bei den Kugelkoordinaten ausgeshclossen werden...

Was bedeutet es anschaulich wenn man sagt, die Koordinaten nach denen man einen Tensor ableitet, hängen wieder von anderen Koordinaten ab?? (Kugelkoordinaten zB hänegen doch immer von kartesischen ab?!)
Ich dreh mich grade im Kreis, aber danke für das Bemühen...

***Einsteins-Erben*** · (Dieser Beitrag wurde zuletzt bearbeitet: 28.08.2009 15:34 von Einsteins-Erben.)

Ach deshalb, wegen des alpha Cool

Die Erklärung ist sehr einfach: erlaubt ist die Umbenennung wie gesagt, weil aufsummiert wird, ob nun über den Index ny oder alpha spielt dabei keine Rolle. Der Grund ist, dass die Variation

${\partial x^\alpha}$

Aus dem Gesamtausdruck ausgeklammert werden soll.

!!!Vorsicht!!! Bei Zeitunabhängigkeit fallen nicht zwangsläufig irgednwelche Komponenten weg, es gilt nur:

$\frac{\partial g_{\mu}_{\nu}}{\partial x^\4}=\frac{\partial g_{\mu}_{\nu}}{\partial t}=0$

und die Schwarzschildmetrik hängt auch vom Winkel ab, allerdings nur aufgrund der Wahl von Kugelkoordinaten.

Du musst das mit den Koordinatenabhängigkeiten so sehen: die Einsteinschen Feldgleichungen bestimmen die Lösungen für den Metriktensor. Dabei hängt dieser nur von den Viererkoordinaten ab. Möchte man die Bewegung eines Teilchens im Gravitationsfeld beschreiben, benötigt man die Lösung der Geodätengleichungen. Hier verwendet man die Lösungen des Metriktensors aus den Einsteinschen Feldgleichungen, allerdings hängen nun die Viererkoordianten noch vom Kurvenparameter ab. Wenn man möchte kann man die Abhängigkeit auch schon in die Einsteinschen Feldgleichungen hineinschreiben (vom Kurvenparameter), allerdings hat der Kurvenparameter keinen Einfluss auf das Ergebnis des Metriktensors.

Ein-stein · 28.08.2009, 22:05

Ach so...
Nur was ist dann der Term nach dem Plus? Der muss ja nach der totalen Ableitung folgendes Schema haben: + Df/Dy df
Nur dieses Schema erkenne ich nicht, oder wird hier jetzt nciht dieses Prinzip angewendet sondern einfach die Produktregel??

Ok, das mit der Abhängigkeit is jetzt klar, nur um das ganz zu verstehen mal kurz weg von der ART:
Ich hab einen zweistufigen Tensor und möchte den nach einer Koordinate ableiten.
Wenn ich dabei die Kettenregel zu beachten habe, dann muss ich vorher ganz genau definieren, ob die Koordinaten wiederum von irgendwas abhängig sind?!

***Einsteins-Erben*** · 29.08.2009, 07:45

Richtig, man muss immer im Allgemeinen schauen, ob die Variablen nicht auch wieder von irgendetwas abhängen. Prinzipiell geht man in der theoretischen Physik so vor. Die Tensoren (Felder) werden durch Feldgleichungen bestimmt, bei denen die Koordinaten nicht weiter als abhängige Größen von anderen Variablen betrachtet werden. Bei der Bestimmung der Bewegungsgleichungen eines Teilchens in diesen Feldern betrachtet man Kurven (in der AR Geodäten genannt). Hier hängen die Koordinaten dann vom Kurvenparameter ab (in der SR + AR auch oft Eigenzeit).

Wenn Du das meinst

$\partial(\frac{dx^{\alpha}}{d\lambda})=\frac{d}{d\lambda}(\partial x^\alpha)$

hier wurde die Vertauschbarkeit der Differenzierung ausgenutzt. Trivial gesagt: es ist egal, ob man die Viererkoordinaten erst nach dem Kurvenparameter ableitet und dann variiert oder umgekehrt.

Ich kenne den Drang, alles verstehen zu wollen. In der Physik ist es oft so, dass man die Dinge nicht gleich versteht. Sei es, weil einem das mathematische Rüstzeug noch fehlt oder oft ist es auch so, dass die Dinge im Kopf erst "reifen" müssen. D.h. die Erkenntnis kommt irgendwann von alleine.