Einsteins-Erben Forum

Hallo!

In vielen Büchern und Skripten zu analytischer aka theoretischer Mechanik wird das Beispiel eines Massepunktes mit Masse m der entlang einer Kugel mit Radius R reibungsfrei herunterrutscht als Beispiel für eine anholonome Zwangbedingung in Form einer Ungleichung genannt; dort gilt in Polarkoordinaten



Soweit, so gut.

Nur - wie ermittelt man dafür die Bewegungsgleichungen?

Kennt sich jemand mit derartigen anholonomen Zwangsbedingungen aus?

Das reale Problem, an dem ich arbeite ist um ein Vielfaches komplizierter und wird sowieso nur numerisch lösbar sein; was mir selbst einfiele zu solchen Ungleichungen als Zw-Bed. wäre ein dirty trick, nämlich sich ein abstossendes Potential einfallen zu lassen, das bei R einen hohen Wert annimmt und "nach aussen" so steil abfällt, so dass die Abweichung zu einem "Sprung" bei R im Rahmen der numerischen Genauigkeit zu vernachlässigen ist; das wäre also mein pragmtischer guess dazu.


Grüsse,

Solkar

Hi Solkar
hier ist meine Herleitung der Bewegungsgleichungen für
R-r=0

Gruß

Eli

(28.08.2010 16:57)pankiewiczeli schrieb: [ -> ]Hi Solkar
hier ist meine Herleitung der Bewegungsgleichungen für
R-r=0

Gruß

Eli

Danke, Eli,

aber ich brauch das für die Zwangs-UN-Gleichung
r - R >= 0
und nicht für die Gleichung
r - R = 0
(dabei ist übrigens r, wie üblich, der Ortvektor und nicht der Radius irgendeiner einer kleineren Kugel)

Desweiteren darf man nicht davon ausgehen, dass der Massepunkt anfangs keinen Impuls hat, es könnte auch iwie "schräg" herunterrutschen.

Ferner brauch ich einen Ansatz im Lagrange-Formalismus (das hätte ich explizit reinschreiben sollen - mein Fehler, sorry!)

Ich glaube, dass mein Ansatz mit dem fiktiven Potential zielführend sein könnte; ich werde dazu mal bei Gelegenheit ne kleine numerische Simulation schreiben.


Grüsse,

Solkar

Hi Solkar,

die Ungleichung die Du aufschreibst, beschraenkt Deinen Massenpunkt nicht auf eine Flaeche (was man ja durch holonome Zwangsbedingungen modellieren kann), sondern auf ein Volumen des Raums.
Und da ist meines Wissens nach das abstossende Potential, wie Du es beschreibst, das Mittel der Wahl. Das wird zumindest so gemacht, wenn man in der Mechanik Streuprobleme von Kugeln an Kugeln rechnen moechte.
Anholonome Zwangsbedingungen sind welche, die sich nur als Bedingungen an die Geschwindigkeiten der Massenpunkte schreiben lassen. Die brauchst Du hier also auch nicht.

Ich hoffe, ich konnte helfen!
Viele Gruesze,
demon