Einsteins-Erben Forum - Ideale Gasgleichung

Es soll hier eine kurze Herleitung der idealen Gasgleichung aufgezeigt werden. Die ideale Gasgleichung gibt den Zusammenhang der 3 Zustandsgrößen Druck p, Volumen V und Temperatur T (in Kelvin) des idealen Gases an. An das ideale Gas sind eine Reihe von Bedingungen zu stellen:

1. Die Gasteilchen sind punktförmig, d.h. haben keine Ausdehnung bzw. eine zu vernachlässigbare.

2. Die Gasteilchen wechselwirken nicht untereinander durch Kräfte, es sei denn sie führen elastische Stöße durch.

3. Das ideale Gas befindet sich im thermodynamischen Gleichgewicht, d.h. es existiert eine Temperatur T

Das Gas sei in einem Würfel der Kantenlänge L gefangen.

[Bild: gaswuerfel.jpg]

Das Gasteilchen ist dabei die grüne Kugel. Man kann nun ein mittleres Geschwindigkeitsquadrat

$\overline v^2 = \overline {v_x^2} + \overline {v_y^2} + \overline {v_z^2}$

angeben, mit dem sich jedes Gasmolekül im Mittel im Würfel bewegt. Wir filtern nun die mittlere Bewegung einzelnen Gasmoleküls in x-Richtung auf die graue Würfelfläche eines heraus (man kann die Geschwindigkeit ja vektoriell zerlegen). Stößt nun ein Gasmolekül auf die Würfelfläche, so hinterlässt es auf der Fläche eine Impulsänderung von:

$\Delta p_x = 2 \cdot m \cdot \overline {v_x}$

Warum die 2? Weil es einen Impuls beim Aufprall gibt und einen beim "Abstoßen" in negativer x-Richtung. Die Kraft ist je bekannter Weise die Änderung des Impulses pro Zeitintervall, also:

$F = \frac {\Delta p_x} {\Delta t}$

Nun stellt sich die Frage nach dem Zeitintervall, also wie lange dauert es, bis ein Gasmolekül von der linken Wand zur rechten Wand wandert und einen erneuten Stoß auf diese (rechte) Würfelwand durchführt. Die Antwort ist einfach:

$\Delta v_x = \frac {2 \cdot L} {\Delta t}$

oder

$\Delta t = \frac {2 \cdot L} {\overline v_x}$

Damit bekommen wir für die Kraft auf die Wand:

$F = \frac {\Delta p_x} {\Delta t} = \frac {2 \cdot m \cdot \overline v_x} {\frac {2 \cdot L} {\overline v_x}} = \frac {m \cdot \overline v_x^2} {L}$

Der Druck ist aber Kraft pro Fläche, also

$p = \frac {F} {A} = \frac {F} {L^2} = \frac {m \cdot \overline v_x^2} {L^3} = \frac {m \cdot \overline v_x^2} {V}$

wobei wir im Nenner das Volumen V des Würfels eingeführt haben. Wir wollen die mittlere Geschwindigkeit in x-Richtung durch die mittlere Geschwindigkeit ausdrücken. Wir erinnern uns, das gilt:

$\overline v^2 = \overline {v_x^2} + \overline {v_y^2} + \overline {v_z^2} = 3 \cdot \overline {v_x^2}$

oder

$\overline {v_x^2} = \frac {1} {3} \cdot \overline v^2$

Dies ist verständlich, weil die keine Richtung bevorzugt werden kann. Wir erhalten für den Druck

$p = \frac {m \cdot \overline v^2} {3 \cdot V}$

bzw.für den Gesamtdruck auf die Fläche, wenn N Teilchen im Würfel gefangen sind:

$p = \frac {N \cdot m \cdot \overline v^2} {3 \cdot V}$

Wir führen die mittlere kinetische Energie ein:

$\overline E = \frac {1} {2} \cdot m \cdot \overline v^2$

und erhalten somit für den Gesamtdruck:

$p = \frac {2 \cdot N} {3 \cdot V} \cdot \frac {1} {2} \cdot m \cdot \overline v^2 = \frac {2 \cdot N} {3 \cdot V} \cdot \overline E$

Mit Hilfe der Boltzmannkonstanten k und der Temperatur T definiert man einen Zusammenhang zwischen der mittleren kinetischen Energie eines Teilchens und der Temperatur.

$\overline E = \frac {f} {2} k \cdot T$

Dies ist quasi ein Brückenschlag zwischen der klassischen Punktmechanik und der Thermodynamik. f ist die Anzahl der Bewegungsfreiheitsgrade des idealen Gases. Auf jeden Freiheitsgrad entfällt dieselbe Energie

$\frac {1} {2} k \cdot T$

Da dieses aber punktförmig ist, kann es sich nur in x-,y- und z-Richtung bewegen (und z.B. keine Rotation durchführen wie bei einem Hantelmolekül). Damit erhalten wir:

$\overline E = \frac {3} {2} k \cdot T$

und endlich für den Gesamtdruck

$p = \frac {N \cdot k \cdot T} {V}$

oder

$p \cdot V = N \cdot k \cdot T$