25.12.2009, 09:53
Das Bohrsche (Wasserstoff)-Atommodell geht von folgenden Postulaten aus:
1. Die klassischen Bewegungsgleichungen sollen für die Atomelektronen gelten, allerdings sollen nur bestimmte, diskrete (Kreis)-Bahnen erlaubt sein.
2. Die Bewegung der Elektronen auf diesen Bahnen erfolgt strahlungsfrei. Beim Übergang von einem höheren Niveau n auf ein tieferes m (das entspricht einer Bahn mit größerem Radius r auf eine Bahn mit kleinem Radius r) wird ein Quant der Energie
emittiert, dabei ist
die Frequenz.
3. Der Bahndrehimpuls des Elektrons ist ein ganzzahliges Vielfaches des Planckschen Wirkungsquantum, also
mit n = 1,2,3....
Die Schwächen des Modells sind offensichtlich und schon jetzt erkennbar. 2. erklärt nicht, warum sich die Elektronen strahlungsfrei bewegen sollen - klassisch gesehen stellt eine Kreisbewegung einen beschleunigten Vorgang dar, der elektromagnetische Strahlung emittiert. Und 3. ist ziemlich aus dem Hut gezaubert und wie sich zeigen wird, ziemlich grob um nicht zu sagen ungenau. Die Drehimpulsquantelung wird oft als 3. Postulat bezeichnet, es existieren in der Literatur aber auch andere Meinungen.
Durch Anwendung der klassischen Gesetze (Gleichsetzung von Zenztrifugal- und Coulombkraft und der Bildung der Gesamtenergie und 3. gelangt man zur gequantelten Gesamtenergie des Elektrons. Wir rechnen:
Auf einer Kreisbahn befindet sich Coulomb- und Zentrifugalkraft im Gleichgewicht:
oder
Die Gesamtenergie des Elektrons ist:
Dabei ist e die Elementarladung,
die elektrische Feldkonstante, r der Bahnradius des Elektrons, m die Elektronenmasse und v die Bahngeschwindigkeit des Elektrons. Wir eliminieren die Geschwindigkeit durch Verwendung des Kräftegleichgewichts und erhalten:
Das ist schön kompakt. Nun wenden wir uns 3. zu und setzen die klassische Drehimpulsdefinition der gequantelten gleich, also:
Wir formeln um
und setzen das in den oben gefundenen Ausdruck für das Geschwindigkeitsquadrat ein:
oder
Der Bahnradius ist also gequantelt und nimmt mit dem Quadrat von n zu. Wir setzen das Ergebnis nun in die Gesamtenergie ein und erhalten:
Dies gilt natülich nur für das Wasserstoffatom mit der Kernladungszahl Z = 1. Für andere Kerne muss man
schreiben.
Die Ionisierungsenrgie des Wasserstoffatoms beträgt also (das entspricht einem Sprung von n = unendlich nach n = 1 dem Grundzustand):
Für einen Bahnensprung von n nach m ergibt sich damit
 = \frac {m e^4}{32 \pi^2 {\epsilon_0}^2 \hbar^2 } \cdot (\frac{1}{m^2} - \frac{1}{n^2}))
Eine genauere hochauflösendere Betrachtung der Wasserstofflinien ergab jedoch, dass diese keineswegs nur einfache Linien sind, die den Grundzuständen entsprechen, sondern eine "innere" Struktur besitzen.
Sommerfeld verfeinerte die Theorie, in dem er die Entartung des Drehimpulses berücksichtigte, quasi in dem er nicht mehr von Kreisbahnen ausging sondern Ellipsen. Nach den kepllerschen Gesetzen ist bekannt, dass Ellipsenbahnen dieselbe Energie haben können wie Kreisbahnen (eine Kreisbahn ist ja ein Spezialfall einer Ellipse, aber auch Ellipsenbahnen, die keiner Kreisbahn entsprechen, können dieselbe Energie wie eine Kreisbahn haben. Eine Ellipse kann natürlich nicht mehr durch einen Parameter alleine beschrieben werden (Kreisradius was der Hauptquantenzahl n entspricht). Also die Verfeinerung (das Plancksche Wirkungsquantum lasse ich mal weg) lautet:
 )
mit l = 0,1,2....n-1
l ist die Drehimpulsquntenzahl. Also l = 0 wird dann s-Orbital genannt s für sharp, l = 1 p-Orbital p für principal, d für diffuse, f für fundamental usw. Diese Drehimpulsbeziehung stimmt mit der 3. Postulate von Bohr nur für große l überein, nämlich wenn
} \approx \hbar l)
In einem äußeren Magnetfeld kann sich die Elektronen-Ellipse (Bahndrehimpulsvektor), welche ebenfalls ein magnetisches Feld erzeugt und mit dem äußeren Magnetfeld wechselwirkt, dann nur in bestimmten Richtungen zum äußeren Magnetfeld annehmen. Mahn ahnt es, eine weiter Quantenzahl (die magnetische) wird gebraucht:
m = -l....,0,...+l
Für l=1 gibt es also 3 Ausrichtungen: -1,0,+1.
Wenn man nun noch den Spin berücksichtigt (als neue Quantenzahl mit zwei Ausrichtungen zur z-Achse, nämlich +/- 1/2) und das Pauliprinzip, welches besagt, dass In einem Atom nie zwei Elektronen in allen vier Quantenzahlen übereinstimmen können, kann man sich ausrechnen, wie die Schalen maximal besetzt sein können, nämlich mit 2*n^2 Elektronen. Wir schauen uns die ersten beiden Schalen an:
K-Schale mit n=1 ergibt l =0 und m = 0, also nur 2 Zustände für Spin hoch und Spin runter für das s-Orbital.
L-Schale mit n=2 ergibt l=0,1 und m=-1,0,1 für l=1 also 3 Zustände für die magnetische Quantenzahl mit l=1 multipliziert mit den Spinzuständen (2) sind das maximal 6 Zustände für l=1 zuzüglich der beiden Elektronen für l=0 macht das insgesamt 8 Elektronen für die L-Schale.
1. Die klassischen Bewegungsgleichungen sollen für die Atomelektronen gelten, allerdings sollen nur bestimmte, diskrete (Kreis)-Bahnen erlaubt sein.
2. Die Bewegung der Elektronen auf diesen Bahnen erfolgt strahlungsfrei. Beim Übergang von einem höheren Niveau n auf ein tieferes m (das entspricht einer Bahn mit größerem Radius r auf eine Bahn mit kleinem Radius r) wird ein Quant der Energie
emittiert, dabei ist
3. Der Bahndrehimpuls des Elektrons ist ein ganzzahliges Vielfaches des Planckschen Wirkungsquantum, also
Die Schwächen des Modells sind offensichtlich und schon jetzt erkennbar. 2. erklärt nicht, warum sich die Elektronen strahlungsfrei bewegen sollen - klassisch gesehen stellt eine Kreisbewegung einen beschleunigten Vorgang dar, der elektromagnetische Strahlung emittiert. Und 3. ist ziemlich aus dem Hut gezaubert und wie sich zeigen wird, ziemlich grob um nicht zu sagen ungenau. Die Drehimpulsquantelung wird oft als 3. Postulat bezeichnet, es existieren in der Literatur aber auch andere Meinungen.
Durch Anwendung der klassischen Gesetze (Gleichsetzung von Zenztrifugal- und Coulombkraft und der Bildung der Gesamtenergie und 3. gelangt man zur gequantelten Gesamtenergie des Elektrons. Wir rechnen:
Auf einer Kreisbahn befindet sich Coulomb- und Zentrifugalkraft im Gleichgewicht:
oder
Die Gesamtenergie des Elektrons ist:
Dabei ist e die Elementarladung,
Das ist schön kompakt. Nun wenden wir uns 3. zu und setzen die klassische Drehimpulsdefinition der gequantelten gleich, also:
Wir formeln um
und setzen das in den oben gefundenen Ausdruck für das Geschwindigkeitsquadrat ein:
oder
Der Bahnradius ist also gequantelt und nimmt mit dem Quadrat von n zu. Wir setzen das Ergebnis nun in die Gesamtenergie ein und erhalten:
Dies gilt natülich nur für das Wasserstoffatom mit der Kernladungszahl Z = 1. Für andere Kerne muss man
schreiben.
Die Ionisierungsenrgie des Wasserstoffatoms beträgt also (das entspricht einem Sprung von n = unendlich nach n = 1 dem Grundzustand):
Für einen Bahnensprung von n nach m ergibt sich damit
Eine genauere hochauflösendere Betrachtung der Wasserstofflinien ergab jedoch, dass diese keineswegs nur einfache Linien sind, die den Grundzuständen entsprechen, sondern eine "innere" Struktur besitzen.
Sommerfeld verfeinerte die Theorie, in dem er die Entartung des Drehimpulses berücksichtigte, quasi in dem er nicht mehr von Kreisbahnen ausging sondern Ellipsen. Nach den kepllerschen Gesetzen ist bekannt, dass Ellipsenbahnen dieselbe Energie haben können wie Kreisbahnen (eine Kreisbahn ist ja ein Spezialfall einer Ellipse, aber auch Ellipsenbahnen, die keiner Kreisbahn entsprechen, können dieselbe Energie wie eine Kreisbahn haben. Eine Ellipse kann natürlich nicht mehr durch einen Parameter alleine beschrieben werden (Kreisradius was der Hauptquantenzahl n entspricht). Also die Verfeinerung (das Plancksche Wirkungsquantum lasse ich mal weg) lautet:
mit l = 0,1,2....n-1
l ist die Drehimpulsquntenzahl. Also l = 0 wird dann s-Orbital genannt s für sharp, l = 1 p-Orbital p für principal, d für diffuse, f für fundamental usw. Diese Drehimpulsbeziehung stimmt mit der 3. Postulate von Bohr nur für große l überein, nämlich wenn
In einem äußeren Magnetfeld kann sich die Elektronen-Ellipse (Bahndrehimpulsvektor), welche ebenfalls ein magnetisches Feld erzeugt und mit dem äußeren Magnetfeld wechselwirkt, dann nur in bestimmten Richtungen zum äußeren Magnetfeld annehmen. Mahn ahnt es, eine weiter Quantenzahl (die magnetische) wird gebraucht:
m = -l....,0,...+l
Für l=1 gibt es also 3 Ausrichtungen: -1,0,+1.
Wenn man nun noch den Spin berücksichtigt (als neue Quantenzahl mit zwei Ausrichtungen zur z-Achse, nämlich +/- 1/2) und das Pauliprinzip, welches besagt, dass In einem Atom nie zwei Elektronen in allen vier Quantenzahlen übereinstimmen können, kann man sich ausrechnen, wie die Schalen maximal besetzt sein können, nämlich mit 2*n^2 Elektronen. Wir schauen uns die ersten beiden Schalen an:
K-Schale mit n=1 ergibt l =0 und m = 0, also nur 2 Zustände für Spin hoch und Spin runter für das s-Orbital.
L-Schale mit n=2 ergibt l=0,1 und m=-1,0,1 für l=1 also 3 Zustände für die magnetische Quantenzahl mit l=1 multipliziert mit den Spinzuständen (2) sind das maximal 6 Zustände für l=1 zuzüglich der beiden Elektronen für l=0 macht das insgesamt 8 Elektronen für die L-Schale.