Einsteins-Erben Forum - Einmal Maxwell bitte

Liebe Physikfreunde,

ich werde hier nach und nach den Weg zu den Maxwell-Gleichungen skizzieren. In diesen Gleichungen fasste Maxwell die losen elektromagnetischen (und elektrostatischen) Kenntnisse, die zu seiner Zeit noch ungeordent und getrennt voneinander vorlagen, zu einer einheitlichen Theorie zusammen. Im Grunde kann man sagen, dass es sich bei den Maxwell-Gleichungen um die erste vereinheitlichte Feldtheorie handelt, denn elektrische und magnetische Felder wurden lange Zeit als getrennte Sachverhalte angesehen.

0. Zunächst ein paar Definitionen:

Lichtgeschwindigkeit:
$c \equiv 1$
Elektrische Ladung:
e
Elektrische Feldkonstante:
$\epsilon_0$
Magnetische Feldkonstante:
$\mu_0$
Zeit:
t
Ortsvektor:
$\vec{r} = (x, y, z)$
Kontravariante Raum-Zeitkoordinaten (Viererschreibweise):
$x^{\mu} = (x_0, x_1, x_2, x_3) = (c \cdot t, x, y, z) \equiv (t, x, y, z)$
Kovarianter und Kontravarianter Metriktensor für Lorentz-Metrik:
$g_{\mu \nu} = g^{\mu \nu} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$
Gradient
$\vec{\nabla} = (\frac {\partial} {\partial x},\frac {\partial} {\partial y},\frac {\partial} {\partial z})$
Kovarianter Vierer-Gradient
$\nabla_{\mu} = \frac {\partial} {\partial x^{\mu}} = (\frac {\partial} {\partial (c \cdot t)}, \frac {\partial} {\partial x},\frac {\partial} {\partial y},\frac {\partial} {\partial z}) \equiv (\frac {\partial} {\partial t}, \frac {\partial} {\partial x},\frac {\partial} {\partial y},\frac {\partial} {\partial z})$
Laplace-Operator
${\triangle} = \vec{\nabla} \cdot \vec{\nabla} = \frac {\partial^2} {{\partial x}^2} + \frac {\partial^2} {{\partial y}^2} + \frac {\partial^2} {{\partial z}^2}$
Quabla-Operator
$\box = \nabla_{\mu} \nabla^{\mu} = g^{\mu \nu} \nabla_{\mu} \nabla_{\nu} = \frac {\partial^2} {{\partial (c \cdot t)}^2} - \frac {\partial^2} {{\partial x}^2} - \frac {\partial^2} {{\partial y}^2} - \frac {\partial^2} {{\partial z}^2} \equiv \frac {\partial^2} {{\partial t}^2} - \frac {\partial^2} {{\partial x}^2} - \frac {\partial^2} {{\partial y}^2} - \frac {\partial^2} {{\partial z}^2} = \frac {\partial^2} {{\partial t}^2} -\triangle$
Confused

Bekomme das Quadrat/Box nicht ohne das Gekritzel im Zentrum hin Confused

Rotation eines Vektorfeldes:
$\vec \nabla \times \vec A = \begin{pmatrix} \frac {\partial}{\partial x} \\ \frac {\partial}{\partial y} \\ \frac {\partial}{\partial z} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} A_1 \\ A_2 \\ A_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac {\partial A_3}{\partial y} - \frac {\partial A_2}{\partial z} \\ \frac {\partial A_1}{\partial z} - \frac {\partial A_3}{\partial x} \\ \frac {\partial A_2}{\partial x} - \frac {\partial A_1}{\partial y} \end{pmatrix}$
Divergenz eines Vektorfeldes:
$\vec \nabla \cdot \vec A = \frac {\partial A_1}{\partial x} + \frac {\partial A_2}{\partial y} + \frac {\partial A_3}{\partial z}$
Elektromagnetisches Viererpotential (kontravariant)
$A^{\mu} = (A_0, A_1, A_2, A_3) = (V, A_x, A_y, A_z) = (V,\vec{A})$
Elektromagnetischer Feldstärketensor
$F^{\mu \nu} \equiv \nabla^{\mu} A^{\nu} - \nabla^{\nu} A^{\mu}$
Vektorpotential
$\vec{A} =(A_1, A_2, A_3)$
Cloulombpotential
V
Magnetfeld
$\vec{H}$
Magnetische Induktion
$\vec{B}$
Elektrisches Feld
$\vec{E}$
Dielektrische Verschiebung
$\vec{D}$
Elektrische Ladungsdichte
$\rho$
Elektrische Stromdichte
$\vec j$
Viererstromdichte
$j^{\mu} = (\rho,\vec j)$

Die Lichtgeschwindigkeit setzen wir wieder aus Faulheit 1.

1. Die elektrischen Felder E und D

Etwas verwirrend ist die Einführung der beiden Felder E (elektrisches Feld) und D (dieelektrische Verschiebung. Die expirementell direkt zugängliche Größe ist E, denn die Kraft F auf eine Ladung e ist:

$\vec E = \frac {\vec F}{e}$

Die dielektrische Verschiebung hat etwas mit dem Feld zu tun, welches die tatsächlich vorhandenen, freien Ladungen als Quelle hat (und nicht die durch Polarisation erzeugte). E enthält neben den freien Ladungen als Feldquelle auch die Polarisation, also das zusätzliche Feld, welches durch die Ausrichtung z.B. atomarer Dipole in der Materie verursact wird. Die Bedeutung von D wird in inegraler Form schnell klar:

$\oint_A \vec D \cdot d \vec A = e$

D.h. das Oberflächenintegral (z.B. Kugeloberfläche, welche eine Punktladung e umfasst) ist die Punktladung selbst. Wir gelangen mit Hilfe des Gaußchen Integralsatzes schnell zum ersten Teil der Maxwellschen Gleichungen, wenn wir das Oberflächenintegral in ein Volumenintegral umwandeln (Volumen V):

$\oint_A \vec D \cdot d \vec A = \int \vec \nabla \cdot \vec D dV = \int \rho dV = e$

oder

$\int (\vec \nabla \cdot \vec D - \rho) dV = 0$

Da dies für alle Volumina gilt, muss gelten:

$I.$ $\vec \nabla \cdot \vec D = \rho$

Mit anderen Worten, die Quelle von D ist die Ladungsdichte. Der Zusammenhang zwischen D und E ist über die Polarisation P gegeben:

$\vec D = \epsilon_0 \vec E + \vec P$

$\epsilon_0$ ist dabei die elektrische Feldkonstante. Oft ist die Polarisation proportional zum elektrischen Feld und man kann schreiben:

$\vec D = \epsilon_0 \vec E + \vec P = \epsilon_0 \epsilon_r \vec E$

Dabei ist $\epsilon_r$ die materialabhängige Dielektrizitätskonstante. Dieser proportionale Zusammenhang zwischen E und D gilt jedoch nicht immer.

2. Die magnetischen Felder B und H

Wie bei den elektrischen Fledern existieren auch bei den magnetischen zwei Definitionen, die etwas für Verwirrung sorgen können. Das Magentfeld H und die magnetische Induktion B. Über die Lorentzkraft sehen wir, welche die expirementell direkt zugängliche Größe ist, nämlich B, denn die Kraft F auf eine Ladung e mit der Geschwindigkeit v ist:

$\vec F = e \cdot (\vec v \times \vec B)$

oder wenn Geschwindigkeit und Magnetfeld senkrecht zueinander stehen:

$\mid \vec B \mid = \frac {\mid \vec F \mid}{e \cdot \mid \vec v \mid}$

Es existieren nach heutigem Stand nur magnetische Dipole und keine magnetischen Monopole (obwohl es derzeit einen Bericht gibt, der anderes verspricht - aber abwarten). Da also nur Dipole existiern, besitzt ddas Magentfeld keine Quellen, also (siehe Kapitel zuvor):

$II.$ $\vec \nabla \cdot \vec B = 0$

Damit haben wir schon 2 von 4 der Maxwell-Gleichungen. Das Magnetfeld H wird durch die makroskopischen Ströme erzeugt (also z.B. der, der durch einen Draht fließt). Durch die H-Felder kann Materie magnetisiert werden, so dass wir ähnlich zu den elektrischen Feldern finden:

$\vec B = \mu_0 \cdot(\vec H + \vec M)$

dabei ist M die Magnetisierung und $\mu_0$ die magnetische Feldkonstante. Im Vakuum ist die Magnetisierung 0. Ist die Magnetisierung proportional zum H-Feld (was nicht immer der Fall ist), kann man schreiben:

$\vec B = \mu_0 \cdot \mu \cdot \vec H$

Dabei ist $\mu$ die magnetische Permeabilität.

3. Verwirbelungen

Zu den letzten beiden Maxwellgleichungen. Man kann kurz sagen, die zeitliche Änderung des einen Feldes verursacht eine Verwirbelung (mathematisch Rotation) des anderen Feldes. Fangen wir mit dem Faradayschen Induktionsgesetz an. Ein sich zeitlich änderndes Magnetfeld erzeugt ein verwirbeltes elektrisches Feld:

$III.$ $\vec \nabla \times \vec E = - \frac {\partial \vec B}{\partial t}$

Dieses Gesetz entdeckte Michael Faraday 1831. Jeder fahrraddynamo funktioniert nach diesem Prinzip. Die umgekehrte Form, also die eines sich zeitliche ändernden elektrischen Feldes, sieht ähnlich aus:

$IV.$ $\vec \nabla \times \vec H = \vec j + \frac {\partial \vec D}{\partial t}$

Ein verwirbeltes Magnetfeld hat allerdings zwei Quellen. Die eine ist ein sich zeitlich änderndes elektrisches Feld (genauer dielektrische Verschiebung), die andere ist die elektrische Stromdichte j. Der erste Teil:

$\vec \nabla \times \vec H = \vec j$

ist als Amperesches Gesetz (Durchflutungsgesetz) bekannt. Es wurde von Andre Marie Ampere 1820 entdeckt. Jeder weiß, dass ein durch ein Draht fließender Strom ein um den Draht kreisförmiges Magnetfeld erzeugt, wobei Stromflussrichtung und Magnetfeldvektor senkrecht zueinander stehen.

4. Maxwellgleichungen und das Licht

Wir fassen die 4 Gleichungen noch einmal zusammen und erhalten die Maxwell-Gleichungen:

$I.$ $\vec \nabla \cdot \vec D = \rho$

$II.$ $\vec \nabla \cdot \vec B = 0$

$III.$ $\vec \nabla \times \vec E = - \frac {\partial \vec B}{\partial t}$

$IV.$ $\vec \nabla \times \vec H = \vec j + \frac {\partial \vec D}{\partial t}$

Wor wollen die Maxwell-Gleichungen für das vakuum formulieren und erhalten, wenn wir die Felder D und H durch E und B ersetzen:

$I.$ $\vec \nabla \cdot \vec E = 0$

$II.$ $\vec \nabla \cdot \vec B = 0$

$III.$ $\vec \nabla \times \vec E = - \frac {\partial \vec B}{\partial t}$

$IV.$ $\vec \nabla \times \vec B = \epsilon_0 \cdot \mu_0 \cdot \frac {\partial \vec E}{\partial t}$

Die Vakuumform ist völlig symmetrisch in den Feldern E und B. Wir wollen die Vakuumgleichungen entkoppeln. Wir leiten hierzu III. nach der Zeit ab und bilden von IV. die Rotation:

$III.$ $\vec \nabla \times \frac {\partial \vec E}{\partial t} = - \frac {\partial^2 \vec B}{\partial t^2}$

$IV.$ $\vec \nabla \times \vec \nabla \times \vec B = \epsilon_0 \cdot \mu_0 \cdot \vec \nabla \times \frac {\partial \vec E}{\partial t}$

Wir fassen die beiden Gleichungen zusammen und erhalten:

$\vec \nabla \times \vec \nabla \times \vec B + \epsilon_0 \cdot \mu_0 \cdot \frac {\partial^2 \vec B}{\partial t^2} = 0$

Somit sind beide Gleichungen entkoppelt, d.h. man hat nur noch eine Gleichung für das B-Feld. Wir schreiben das ganze noch etwas um, in dem wir nutzen, dass

$\vec \nabla \times \vec \nabla \times \vec B = - \triangle \vec B + \vec \nabla (\vec \nabla \cdot \vec B) = - \triangle \vec B$

Im letzten Schritt haben wir ausgenutzt, dass die Divergenz von B verschwindet (siehe oben). Wir erhalten damit im Vakuum für das B-Feld (und auch für das E-Feld - Rechnung dazu analog) eine Wellengleichung:

$-\triangle \vec B + \epsilon_0 \cdot \mu_0 \cdot \frac {\partial^2 \vec B}{\partial t^2} = 0$

Bitte die Identität Rotation Rotation B = laplace B mal selber nachrechnen. Von Wellengleichungen weiß man, dass man sie auch so schreiben kann (mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit c der Welle):

$-\triangle \vec B + \frac {1}{c^2} \frac {\partial^2 \vec B}{\partial t^2} = 0$

wobei die Lichgeschwindigkeit

$c = \frac {1}{\sqrt{\epsilon_0 \cdot \mu_0}}$

ist. Daran erkennt man die Vereinheitlichung der Felder E und B (elektrisches und magnetisches) am deutlichsten. Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum bildet sich aus den beiden Konstanten der elektrischen und magnetischen Wechselwirkung.

5. Maxwellgleichungen in kompakter Viererform

Wir schreiben die 4 Gleichungen noch einmal in E- und B-Feldform mit Materie mit dem Spezialfall von konstantem $\epsilon$ und $\mu$ :

$I.$ $\vec \nabla \cdot \vec E = \frac {1}{\epsilon_0 \epsilon_r} \rho$

$II.$ $\vec \nabla \cdot \vec B = 0$

$III.$ $\vec \nabla \times \vec E = - \frac {\partial \vec B}{\partial t}$

$IV.$ $\vec \nabla \times \vec B = \mu_0 \cdot \mu \cdot (\vec j + \epsilon_0 \epsilon_r \frac {\partial \vec E}{\partial t})$

Auf dem Weg zu einer Verallgemeinerung der Maxwellgleichungen muss man versuchen eine elementarere Formulierung der Felder E und B suchen. Die Frage ist, ob sich das elektrische und magnetische Feld aus einem (Vierer-)Potential konstruieren lässt. Wir machen hierzu folgenden Ansatz:

$\vec E = - \vec \nabla V - \frac {\partial \vec A}{\partial t}$

und

$\vec B = \vec \nabla \times \vec A$

Hierbei haben wir neu das vektorpotential A und das Potential V (welches für Zeitunabhängigkeit mit dem Coulombpotential identisch ist) eingeführt. Natürlich müssen die Maxwellgleichungen immer noch gelten. Wir prüfen:

$I.$ $\vec \nabla \cdot \vec E = \vec \nabla \cdot(- \vec \nabla V - \frac {\partial \vec A}{\partial t}) = - \triangle V - \vec \nabla \cdot \frac {\partial \vec A}{\partial t} = \frac {1}{\epsilon_0 \epsilon_r} \rho$

Wenn das Vektorpotential A zeitunabhängig ist oder die Divergenz von A verschwindet, erhalten wir die Differentialgleichung für das Coulombpotential. So weit so gut, aber noch kein Beweis für die Richtigkeit oder die Allgemeinheit des Ansatzes. Machen wir weiter:

$II.$ $\vec \nabla \cdot \vec B = \vec \nabla \cdot (\vec \nabla \times \vec A) = \vec \nabla \cdot \begin{pmatrix} \frac {\partial A_3}{\partial y} - \frac {\partial A_2}{\partial z} \\ \frac {\partial A_1}{\partial z} - \frac {\partial A_3}{\partial x} \\ \frac {\partial A_2}{\partial x} - \frac {\partial A_1}{\partial y} \end{pmatrix} = \frac {\partial^2 A_3}{\partial y \partial x} - \frac {\partial^2 A_2}{\partial z \partial x} + \frac {\partial^2 A_1}{\partial z \partial y} - \frac {\partial^2 A_3}{\partial x \partial y} + \frac {\partial^2 A_2}{\partial x \partial z} - \frac {\partial^2 A_1}{\partial y \partial z} = 0$

Das ist offensichtlich erfüllt. Und weiter:

$III.$ $\vec \nabla \times (- \vec \nabla V - \frac {\partial \vec A}{\partial t}) = - \frac {\partial (\vec \nabla \times \vec A)}{\partial t}$

Das stimmt auch, weil

$\vec \nabla \times (\vec \nabla V) = \begin{pmatrix} \frac {\partial^2 V}{\partial y \partial z} - \frac {\partial^2 V}{\partial z \partial y} \\ \frac {\partial^2 V}{\partial z \partial x} - \frac {\partial^2 V}{\partial x \partial z} \\ \frac {\partial^2 V}{\partial x \partial y} - \frac {\partial^2 V}{\partial y \partial x} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

Nun zur 4. Gleichung:

$IV.$ $\vec \nabla \times (\vec \nabla \times \vec A) = \mu_0 \cdot \mu \cdot (\vec j + \epsilon_0 \epsilon_r \frac {\partial (- \vec \nabla V - \frac {\partial \vec A}{\partial t})}{\partial t})$

Wir verwenden wieder die Identität für die doppelte Rotation und erhalten nach ein wenig Aufräumen:

$IV.$ $- \triangle \vec A + \vec \nabla (\vec \nabla \cdot \vec A) = \mu_0 \cdot \mu \cdot \vec j + \mu_0 \cdot \mu \cdot \epsilon_0 \cdot \epsilon_r (- \vec \nabla \frac {\partial V}{\partial t} - \frac {\partial^2 \vec A}{\partial t^2})$

Wir wählen nun folgende Vereinfachung, die treffend auch als Coulomb-Eichung bekannt ist:

$\vec \nabla \cdot \vec A = 0$

und

$\frac {\partial V}{\partial t} = 0$

Damit erhalten wir für I. und IV.:

$I.$ $- \triangle V = \frac {1}{\epsilon_0 \epsilon_r} \rho$

$IV.$ $- \triangle \vec A = \mu_0 \cdot \mu \cdot \vec j - \mu_0 \cdot \mu \cdot \epsilon_0 \cdot \epsilon_r (\frac {\partial^2 \vec A}{\partial t^2})$

I. ergibt das Coulombpotential und IV. ergibt für das Vakuum wieder eine Wellengleichung für das Vektorpotential, woraus Wellengleichungen für das E- und B-Feld resultieren, wie es auch sein soll. Es scheint, als seien wir auf dem richten Weg. Wir führen nun einfach ein paar Vierervektoren ein und schauen was passiert:

Viererstromdichte: $j^{\mu} = (\rho,\vec j)$

Vierervektorpotential: $A^{\mu} = (A_0, A_1, A_2, A_3) = (V, A_x, A_y, A_z) = (V,\vec{A})$

und den Feldstärketensor:

$F^{\mu \nu} = \nabla^{\mu} A^{\nu} - \nabla^{\nu} A^{\mu}$

Konkret sieht das dann so aus:

$F^{\mu \nu} = \begin{pmatrix} 0 & (\frac {\partial A_1}{\partial t} + \frac {\partial V}{\partial x}) & (\frac {\partial A_2}{\partial t} + \frac {\partial V}{\partial y}) & (\frac {\partial A_3}{\partial t} + \frac {\partial V}{\partial z}) \\ -(\frac {\partial A_1}{\partial t} + \frac {\partial V}{\partial x}) & 0 & -(\frac {\partial A_2}{\partial x} - \frac {\partial A_1}{\partial y}) & -(\frac {\partial A_1}{\partial z} - \frac {\partial A_3}{\partial x}) \\ -(\frac {\partial A_2}{\partial t} + \frac {\partial V}{\partial y}) & (\frac {\partial A_2}{\partial x} - \frac {\partial A_1}{\partial y}) & 0 & -(\frac {\partial A_3}{\partial y} - \frac {\partial A_2}{\partial z}) \\ -(\frac {\partial A_3}{\partial t} + \frac {\partial V}{\partial z}) & (\frac {\partial A_1}{\partial z} - \frac {\partial A_3}{\partial x}) & (\frac {\partial A_3}{\partial y} - \frac {\partial A_2}{\partial z}) & 0 \end{pmatrix}$

Wir erinnern uns:

$\vec E = - \vec \nabla V - \frac {\partial \vec A}{\partial t}$

und

$\vec B = \vec \nabla \times \vec A$

und erhalten damit für den Feldstärketensor:

$F^{\mu \nu} = \begin{pmatrix} 0 & -E_1 & -E_2 & -E_3 \\ E_1 & 0 & -B_3 & B_2 \\ E_2 & B_3 & 0 & -B_1 \\ E_3 & -B_2 & B_1 & 0 \end{pmatrix}$

und damit auch die beiden inhomogenen Maxwellgleichungen (wir setzen die elektrische- und magnetische Feldkonstante 1 - man kann später bei Auflösung der Detailgleichungen diese wieder hinzufügen, es ist im Grunde nur eine Einheitennormierung):

$\nabla_{\mu} F^{\mu \nu} = j^{\nu}$

Denn es gilt

$\nabla_{\mu} F^{\mu \nu} = \begin{pmatrix} \frac {\partial F^{1 0}}{\partial x} + \frac {\partial F^{2 0}}{\partial y} + \frac {\partial F^{3 0}}{\partial z} \\ \frac {\partial F^{0 1}}{\partial t} + \frac {\partial F^{2 1}}{\partial y} + \frac {\partial F^{3 1}}{\partial z} \\ \frac {\partial F^{0 2}}{\partial t} + \frac {\partial F^{1 2}}{\partial x} + \frac {\partial F^{3 2}}{\partial z} \\ \frac {\partial F^{0 3}}{\partial t} + \frac {\partial F^{1 3}}{\partial x} + \frac {\partial F^{2 3}}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \vec \nabla \cdot \vec E \\ - \frac {\partial E_1}{\partial t} + \frac {\partial B_3}{\partial y} - \frac {\partial B_2}{\partial z} \\ - \frac {\partial E_2}{\partial t} - \frac {\partial B_3}{\partial x} + \frac {\partial B_1}{\partial z} \\ - \frac {\partial E_3}{\partial t} + \frac {\partial B_2}{\partial x} - \frac {\partial B_1}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \rho \\ j_1 \\ j_2 \\ j_3 \end{pmatrix}$

oder

$\nabla_{\mu} F^{\mu \nu} = \begin{pmatrix} \vec \nabla \cdot \vec E \\ - \frac {\partial \vec E}{\partial t} + \vec \nabla \times \vec B \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \rho \\ \vec j \end{pmatrix}$

Fehlen noch die beiden homogenen Maxwellgleichungen. Dafür benötigt man einen "veränderten" Feldstärketensor:

$\widehat F^{\mu \nu} \equiv \frac {1}{2} \epsilon_{\alpha \beta \mu \nu} F^{\mu \nu}$

dabei ist das Levi-Civita-Symbol:

$\epsilon_{\alpha \beta \mu \nu} = \begin{cases} +1, & \text{wenn } \alpha \beta \mu \nu \text{ eine gerade Permutation von 0,1,2,3 ist} \\ -1, & \text{wenn } \alpha \beta \mu \nu \text{ eine ungerade Permutation von 0,1,2,3 ist} \\ 0, & \text{wenn mindestens 2 Indizes gleich sind } \end{cases}$

Ohne explizite Rechnung erhält man für den transformierten Feldstärketensor damit:

$\widehat F^{\mu \nu} = \begin{pmatrix} 0 & -B_1 & -B_2 & -B_3 \\ B_1 & 0 & E_3 & -E_2 \\ B_2 & -E_3 & 0 & E_1 \\ B_3 & E_2 & -E_1 & 0 \end{pmatrix}$

Und damit nun endlich die letzten beiden homogenen Maxwell-Gleichungen:

$\nabla_{\mu} \widehat F^{\mu \nu} = 0$

Denn es gilt

$\nabla_{\mu} \widehat F^{\mu \nu} = \begin{pmatrix} \frac {\partial \widehat F^{1 0}}{\partial x} + \frac {\partial \widehat F^{2 0}}{\partial y} + \frac {\partial \widehat F^{3 0}}{\partial z} \\ \frac {\partial \widehat F^{0 1}}{\partial t} + \frac {\partial F^{2 1}}{\partial y} + \frac {\partial \widehat F^{3 1}}{\partial z} \\ \frac {\partial \widehat F^{0 2}}{\partial t} + \frac {\partial \widehat F^{1 2}}{\partial x} + \frac {\partial \widehat F^{3 2}}{\partial z} \\ \frac {\partial \widehat F^{0 3}}{\partial t} + \frac {\partial \widehat F^{1 3}}{\partial x} + \frac {\partial \widehat F^{2 3}}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \vec \nabla \cdot \vec B \\ - \frac {\partial B_1}{\partial t} - \frac {\partial E_3}{\partial y} + \frac {\partial E_2}{\partial z} \\ - \frac {\partial B_2}{\partial t} + \frac {\partial E_3}{\partial x} - \frac {\partial E_1}{\partial z} \\ - \frac {\partial B_3}{\partial t} - \frac {\partial E_2}{\partial x} + \frac {\partial E_1}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

oder

$\nabla_{\mu} F^{\mu \nu} = \begin{pmatrix} \vec \nabla \cdot \vec B \\ - \frac {\partial \vec B}{\partial t} - \vec \nabla \times \vec E \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ \vec 0 \end{pmatrix}$

Ich haben fertig Tongue