Einsteins-Erben Forum

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Hab mich schon öfter gefragt ob man die Energieerhaltung aus irgendeinem physikalischem Gesetz herleiten kann, hab dazu im Netz folgendes gefunden:

Man geht hierbei von der Newtonschen Bewegungsgleichung aus:

$m \dot{r} = F$

Nun wird das ganze mit der Ableitung von r multipliziert und danach integriert:

$\int_{t_1}^{t_2}{m \ddot{r} \dot{r} dt} = \int_{t_1}^{t_2}{F \dot{r} dt}$

Nun betrachtet man beide Seiten der Gleichung extra:

Auf der linken Seite gilt natürlich:

$\ddot{r} \dot{r} = \frac{1}{2} \frac{d}{dt} \dot{r}^2$

Also:

$LS = \int_{t_1}^{t_2}{\frac{d}{dt} (\frac{m}{2} \dot{r}^2)dt} = E_{kin}(t_2) - E_{kin}(t_1)$

Auf der rechten Seite lässt sich die (in diesem Fall konservative Kraft) F durch den Nablaoperator (N) als -NV darstellen, wobei V das Potential ist.

$RS = - \int_{t_1}^{t_2}{\nabla V \cdot \frac{dr}{dt} dt} = - \int_{t_1}^{t_2}{\frac{d}{dt} V dt} = - [V(t_2) - V(t_1)]$

Durch das Gleichsetzen der beiden Seiten erhält man den Erhaltungssatz der Energie:

$E_{kin}(t_2) + V(t_2) = E_{kin}(t_1) + V(t_1)$

Nun wollt ich wissen, was man von dieser (zugegebenermaßen schon sehr mathematisch angehauchten) Herleitung halten soll???

Kann man es überhaupt als Herleitung bezeichnen, wenn man von einem Axiom (nicht beweisbaren Grundsatz) ausgeht?
Aber anders geht es in der Physik doch eh nicht? Irgendwas muss man ja vorraussetzen, ich kann die Gesetze ja nicht aus nichts herleiten?!

Die Energieerhaltung lässt sich für bestimmte physikalische Sachverhalte "beweisen". Er ist jedoch ein Erfahrungssatz, d.h. er gilt so lange, bis etwas anderes bewiesen wird. Mit der Herleitung würde ich anders, invers verfahren (in der Mechanik für konservative Potentiale).

$E = E_{kin} + E_{pot} = \frac {1}{2} m {\vec v(t)}^2 + V(\vec r(t)) = const.$

dann folgt

$\frac {dE}{dt} = 0 = m \cdot \vec v \cdot \frac {d \vec v}{dt} + \frac {d \vec r}{dt} \cdot \frac {dV}{d \vec r} = m \cdot \vec v \cdot \frac {d \vec v}{dt} + \vec v \cdot \frac {dV}{d \vec r} = \vec v \cdot (m \cdot \frac {d \vec v}{dt} + \frac {dV}{d \vec r}) = \vec v \cdot (m \cdot \vec a + \frac {dV}{d \vec r})$

Oder, da das ganze allgemein für alle Gerschwindigkeiten gelten muss

$m \cdot \vec a = - \frac {dV}{d \vec r}$

Den Weg kann man nun umgekehrt gehen und gelangt so für konservative Potentiale auf eine konstante Gesamtenergie.

Energieerhaltungssätze lassen sich auch für die Thermodynamik, Elektrodynamik und Quantenmechanik finden.

Naja, aber es ist doch eig. eine schlüssige Herleitung

Die Tatsache dass physikalische Gesetze nur so lange gelten bis man etwas entdeckt, das nicht damit vereinbar ist, das is doch bei allen Gesetzen der Fall. Von daher kann es doch auch keine schlüssige Herleitung der Einsteingleichungen oder sonstiges geben?!

Das stimmt, eine Herleitung hängt immer vom Ansatz ab. Vielleicht ist das Beispiel nicht so geeignet. Nehmen wir den 1. Hauptsatz der Thermodynamik, dieser lässt sich nicht herleiten sondern ist ein aus Erfahrung aufgestellter Energie-Erhaltungssatz:

$dU = \partial Q + \partial W$

Er besagt, dass sich die innere Energie U eines Systems ändern kann, wenn eine Wärmemenge (dQ) dem System hinzu- oder abgeführt wird und/oder das System Arbeit (dW) leistet oder am System Arbeit geleistet wird.

Ja, hier ists ja wohl wie bei den Newtonschen Axiomen, nicht herleitbar...

Nur: Die Energieerhaltung kann daraus hergeleitet werden, oder is das obige keine strenge Herleitung?

$dU = \partial Q + \partial W$

kann nicht hergeleitet werden.

Obige Rechnungen kann man durchaus als Herleitung für die Energieerhaltung ansehen, wenn man den Weg rückwärts geht, den ich beschrieben habe, also vom Newtonschen Kraftgesetzt zur Energiekonstanz.

Okay, wenn man diese Herleitung vom newtongesetz her angeht und dann das ganze so umformt, dass man zur Energieerhaltung gelangt, ist es also eine Herleitung für letzere?

Es gilt hier dann:

$\frac{d}{d \vec{r}} = \nabla$

oder?

Exakt, das ist dann eine Herleitung der Energieerhaltung und es gilt:

$\frac{d}{d \vec{r}} = \vec \nabla$

Warum sagt man dann immer dass sie sich nicht herleiten lässt?

Ich vermute im Allgemeinen ist dies nicht möglich, sondern nur im Einzelfall. Sollte irgendwann ein Perpetuum Mobile gebaut werden können, wäre ein Gegenbeweis erbracht.

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