Einsteins-Erben Forum

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Liebe Physikfreunde,

ich habe diese Thema neu eröffnet, um den Weg von der Schrödingergleichung zur Diracgleichung und von der Diracgleichung mit elektromagnetischer Wechselwirkung wieder zur Schrödingergleichung zu skizzieren, quasi einmal hin und zurück. Ich möchte hierbei historisch vorgehen, um die Probleme aufzuzeigen, welche die Diracgleichung notwendig gemacht haben. Der Beitrag wird natürlich nicht mit seinem ersten Posting vollständig sein, sondern mit der Zeit wachsen (wenn ich ein paar Millisekunden erübrigen kann neben meinem Broterwerb). Deshalb schaut einfach von Zeit zu Zeit hier rein, das erste Posting (also dieses) zu dem Thema wird wachsen und hoffentlich ein paar Früchte der Erkenntnis tragen. Tongue

0. Zunächst ein paar Definitionen:

Lichtgeschwindigkeit:
$c \equiv 1$
Plancksches Wirkungsquantum:
$\hbar \equiv 1$
Elektronenruhemasse:
m
Elektrische Ladung:
e
Energie:
E
Impulsvektor:
$\vec{p} = (p_x, p_y, p_z)$
Zeit:
t
Ortsvektor:
$\vec{r} = (x, y, z)$
Kontravariante Raum-Zeitkoordinaten (Viererschreibweise):
$x^{\mu} = (x_0, x_1, x_2, x_3) = (c \cdot t, x, y, z) \equiv (t, x, y, z)$
Kontravarianter Viererimpuls:
$p^{\mu} = (p_0, p_1, p_2, p_3) = (\frac {E} {c}, p_x, p_y, p_z) \equiv (E, p_x, p_y, p_z) = (E,\vec{p})$
Kovarianter und Kontravarianter Metriktensor für Lorentz-Metrik:
$g_{\mu \nu} = g^{\mu \nu} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$
Gradient
$\vec{\nabla} = (\frac {\partial} {\partial x},\frac {\partial} {\partial y},\frac {\partial} {\partial z})$
Kovarianter Vierer-Gradient
$\nabla_{\mu} = \frac {\partial} {\partial x^{\mu}} = (\frac {\partial} {\partial (c \cdot t)}, \frac {\partial} {\partial x},\frac {\partial} {\partial y},\frac {\partial} {\partial z}) \equiv (\frac {\partial} {\partial t}, \frac {\partial} {\partial x},\frac {\partial} {\partial y},\frac {\partial} {\partial z})$
Laplace-Operator
${\triangle} = \vec{\nabla} \cdot \vec{\nabla} = \frac {\partial^2} {{\partial x}^2} + \frac {\partial^2} {{\partial y}^2} + \frac {\partial^2} {{\partial z}^2}$
Quabla-Operator
$\box = \nabla_{\mu} \nabla^{\mu} = g^{\mu \nu} \nabla_{\mu} \nabla_{\nu} = \frac {\partial^2} {{\partial (c \cdot t)}^2} - \frac {\partial^2} {{\partial x}^2} - \frac {\partial^2} {{\partial y}^2} - \frac {\partial^2} {{\partial z}^2} \equiv \frac {\partial^2} {{\partial t}^2} - \frac {\partial^2} {{\partial x}^2} - \frac {\partial^2} {{\partial y}^2} - \frac {\partial^2} {{\partial z}^2} = \frac {\partial^2} {{\partial t}^2} -\triangle$
Confused

Bekomme das Quadrat/Box nicht ohne das Gekritzel im Zentrum hin Confused

Elektromagnetisches Viererpotential (kontravariant)
$A^{\mu} = (A_0, A_1, A_2, A_3) = (V, A_x, A_y, A_z) = (V,\vec{A})$
Elektromagnetischer Feldstärketensor
$F^{\mu \nu} \equiv \nabla^{\mu} A^{\nu} - \nabla^{\nu} A^{\mu}$
Homogene Maxwellgleichungen
$\nabla_{\mu}F^{\mu \nu} = 0$
Coulombpotential
V
Magnetfeld
$\vec{B} =\vec{\nabla} \times \vec{A}$

Es wird einen verwundern, dass ich die Lichtgeschwindigkeit und das Plancksche Wirkungsquantum 1 gesetzt habe. Das ist in der Quantentheorie gängige (Faulheits)Praxis, da es sehr mühsam ist in den Gleichungen etliche Konstanten mitzuschleppen. Am Ende einer Rechnung fügt man dann einfach soviele c's und h's wieder hinzu, dass es mit den Einheiten passt. Weiterhin wird nach der Einsteinschen Summenkonvention über gleiche oben- und untenstehende Indizes aufsummiert (von 0-3).

1. Quantisierung

Es gibt viele Wege, die von der klassischen Mechanik zur Quantenmechanik führen. Ich werde es kurz machen. Die klassischen Variablen wie Energie und Impuls werden einfach durch Differentialoperatoren ersetzt und man lässt das ganze auf eine Wellenfunktion wirken. Zunächst zu den Operatoren (mit einem Dach oben drauf, damit man den Unterschied zu den klassischen Variablen erkennt):

Energieoperator
$\widehat {E}=i \cdot \hbar \cdot \frac {\partial} {{\partial (c \cdot t)}} \equiv i \cdot \frac {\partial} {{\partial t}}$
Impulsoperator
$\widehat {\vec{p}} = (\widehat {p}_x, \widehat {p}_y, \widehat {p}_z) = -i \cdot \hbar \cdot (\frac {\partial} {\partial x},\frac {\partial} {\partial y},\frac {\partial} {\partial z}) = -i \cdot \hbar \cdot \vec{\nabla} \equiv -i \cdot \vec{\nabla}$

oder kurz und knapp der kovariante Viererimpulsoperator
${\widehat {p}}_{\mu} = i \cdot \hbar \cdot \nabla_{\mu} \equiv i \cdot \nabla_{\mu} = i \cdot \frac {\partial} {\partial x^{\mu}} = i \cdot (\frac {\partial} {\partial t}, \frac {\partial} {\partial x},\frac {\partial} {\partial y},\frac {\partial} {\partial z})$

bzw. der kontravariante Viererimpulsoperator
${\widehat {p}}^{\mu} = i \cdot (\frac {\partial} {\partial t}, -\frac {\partial} {\partial x},-\frac {\partial} {\partial y},-\frac {\partial} {\partial z})$

2. Schrödingergleichung

Betrachten wir nun die Energie für ein Teilchen (Elektron) im Coulombpotential:

$E = \frac {1} {2m} \vec{p}^2 + V$

Wir erstezen das durch unsere Operatoren

$\widehat {E} = \frac {1} {2m} \widehat {\vec{p}}^2 + V$

(streng genommen müsste man noch ein dach auf das Coulombpotential machen) oder als Differentialgleichung:

$i \cdot \frac {\partial} {{\partial t}} \Psi(\vec {r}, t) = [-\frac {1} {2m} {\vec{\nabla}}^2 + V(\vec {r}, t)]\Psi(\vec {r}, t)$

oder

$i \cdot \frac {\partial} {{\partial t}} \Psi(\vec {r}, t) = [-\frac {1} {2m} \triangle + V(\vec {r}, t)]\Psi(\vec {r}, t)$

oder ausnahmsweise einmal mit der Planckkonstanten

$i \cdot \hbar \cdot \frac {\partial} {{\partial t}} \Psi(\vec {r}, t) = [-\frac {\hbar^2} {2m} \triangle + V(\vec {r}, t)]\Psi(\vec {r}, t)$

Kommen wir nun zu einem sehr wichtigen Punkt, der Interpretation der Wellenfunktion. Hierzu gehen wir von:

2.1 $\frac {\partial} {{\partial t}} \Psi = -i \cdot [-\frac {1} {2m} {\vec{\nabla}}^2 + V]\Psi$

und bilden das konjugiert komplexe der Gleichung

2.2 $\frac {\partial} {{\partial t}} \Psi^* = i \cdot [-\frac {1} {2m} {\vec{\nabla}}^2 + V]\Psi^*$

Wir multiplizieren 2.1 mit der konjugiert komplexen Wellenfunktion und 2.2 mit der Wellenfunktion selbst gegen, dann folgt

2.3 $\Psi^* \frac {\partial} {{\partial t}} \Psi = - \Psi^* i \cdot [-\frac {1} {2m} {\vec{\nabla}}^2 + V]\Psi$

2.4 $\Psi \frac {\partial} {{\partial t}} \Psi^* = \Psi i \cdot [-\frac {1} {2m} {\vec{\nabla}}^2 + V]\Psi^*$

Wir addieren 2.3 und 2.4 und erhalten

$\frac {\partial} {{\partial t}} (\Psi\Psi^*) + \frac {i} {2m} [ \Psi \vec{\nabla}^2 \Psi^* - \Psi^* \vec{\nabla}^2 \Psi] = 0$

oder

$\frac {\partial} {{\partial t}} (\Psi\Psi^*) + \frac {i} {2m} \vec{\nabla} \cdot [ \Psi \vec{\nabla} \Psi^* - \Psi^* \vec{\nabla} \Psi] = 0$

Dies ist eine Kontinuitätsgleichung. Man kann nun

$\varrho \equiv \Psi\Psi^* \ge 0$

als Aufenthalts-Wahrscheinlichkeitsdichte des Elektrons definieren, da der Wert immer größer oder gleich 0 ist. Damit erhält man die sehr wichtige Normierungsbedingung

$\int_{-\infty}^{+\infty} \,\Psi\Psi^* dV = 1$

also die Wahrscheinlichkeit, das Elektron irgendwo im Raum anzutreffen, ist 1. Es wird dabei über das gesamte Raumvolumen V integriert (bitte nicht mit dem Coulombpotential verwechseln). Diese Wahrschenlichkeitsinterpretation soll auch für eine relativistische quantenmechanische Gleichung aufrecht erhalten werden. Im nächsten Kapitel wird sich zeigen, zu welchen Problemen dies führt.

3. Klein-Gordon-Gleichung

Da man ja nicht nur Quantenmechanik mit kleinen Geschwindigkeiten (<< c) betreiben wollte, war man auf der Suche nach einer relativistischen Gleichung, deren Struktur auch eine Wahrscheinlichkeitsinterpretation zulässt. Der einfachste Ansatz war, Einsteins Energie-Impuls-Beziehung heranzuziehen:

$E^2 = \vec {p}^2 + m^2$

(Die lichtgeschwindigkeit wurde wieder 1 gesetzt). Wir quantisieren wie oben geschrieben und erhalten die relativistische Quantengleichung:

$-\frac {\partial^2} {{\partial t}^2} \Psi= [- \frac {\partial^2} {{\partial x}^2} - \frac {\partial^2} {{\partial y}^2} - \frac {\partial^2} {{\partial z}^2} + m^2] \Psi$

oder kurz

3.1 $[\nabla_{\mu} \nabla^{\mu} + m^2] \Psi = 0$

Wir basteln uns wieder eine Kontinuitätsgleichung, in dem wir zunächst das konjugiert komplexe bilden:

3.2 $[\nabla_{\mu} \nabla^{\mu} + m^2] \Psi^* = 0$

3.1 bekommt die konjugiert komplexe Wellenfunktion und 3.2 die Wellenfunktion pur gegenmultipliziert.

3.3 $\Psi^* [\nabla_{\mu} \nabla^{\mu} + m^2] \Psi = 0$

3.4 $\Psi [\nabla_{\mu} \nabla^{\mu} + m^2] \Psi^* = 0$

Wir subtrahieren die letzten beiden Gleichungen voneinander:

$\Psi^* [\nabla_{\mu} \nabla^{\mu} + m^2] \Psi - \Psi [\nabla_{\mu} \nabla^{\mu} + m^2] \Psi^* = 0$

oder

$\Psi^* [\nabla_{\mu} \nabla^{\mu}] \Psi - \Psi [\nabla_{\mu} \nabla^{\mu}] \Psi^* = 0$

oder

$\nabla^{\mu}[\Psi^* \nabla_{\mu} \Psi - \Psi \nabla_{\mu} \Psi^* ] \equiv \nabla^{\mu}j_{\mu} = 0$

Wir definieren die Viererstromdichte und wählen einen Vorfaktor, so dass sich die Dimension einer Wahrscheinlichkeitsdichte ergeben würde (das 1/2 ist Konvention):

$j_{\mu} \equiv \frac {i} {2m} \cdot (\Psi^* \nabla_{\mu} \Psi - \Psi \nabla_{\mu} \Psi^*)$

Wir betrachten die Zeitkomponente, um wieder eine wahrscheinlichkeitsinterpretation zu versuchen:

$\varrho = \frac {i} {2m} \cdot (\Psi^* \frac {\partial \Psi} {\partial t} - \Psi \frac {\partial \Psi^*} {\partial t} )$

und müssen leider feststellen, dass $/varrho(\vec {r},t)$ sowohl positiv als auch negativ sein kann. Damit ist eine Wahrscheinlichkeitsdichten-Interpretation nicht möglich. Dies liegt daran, dass die Klein-Gordon-Gleichung von zweiter Ordung in der Zeitaleitung ist und für eine vollständige Lösung sowohl die Wellenfunktion als auch ihre erste Zeitableitung zu einem gegeenen Zeitpunkt bekannt sein müssen. Was aber gelingt, ist eine Ladungsdichteninterpretation, hierzu machen wir einen einfachen Ansatz:

3a) $\Psi = e^{-i\cdot E \cdot t}$
3b) $\Psi = e^{+i\cdot E \cdot t}$
3c) $\Psi = sin(E \cdot t)$

3a), 3b) und 3c) sind Lösungen der Klein-Gordon-Gleichung. Setzen wir das in $\varrho$ ein, erhalten wir:

4a) $\varrho = \frac {E} {m} = +1$
4b) $\varrho = - \frac {E} {m} = -1$
4c) $\varrho = 0$

Interpretieren wir $\varrho$ als Ladungsdichte (wir setzen die Ladung e einfach 1, um keine Schwierigkeiten mit den Einheiten zu bekommen), erhalten wir alle Ladungszustände, +1, -1 und 0, je nachdem, ob wir ein geladenes Teilchen, geladenes Antiteilchen oder ein neutrales Teilchen vorliegen haben. Die Klein-Gordon-Gleichung hat in der Tat ihre Berechtigung als Spin-0-Teilchen-Gleichung. Wir denken z.B. an die Pionen:

$\pi^{\pm}$ und $\pi^{0}$ .

4. Dirac-Gleichung

Ziel wird es sein, eine Quanten-Gleichung (Differentialgleichung) zu finden, die linear in der Zeitableitung ist, damit eine positiv definite Wahrschenlichkeitsdichte als Interpretation möglich ist. Betrachten wir nochmals die relativistische Energie-Impulsbeziehung:

$E^2 = \vec {p}^2 + m^2$

zieht man die Wurzel, erhält man:

$E = \pm \sqrt {\vec {p}^2 + m^2}$

Würde man nun Operatoren einführen, hätte man eine Gleichung, die linear in der Zeitableitung ist. Allerdings stört die Wurzel. Wir machen daher folgenden linearen Ansatz:

4.1 $(i \cdot \gamma^{\mu} \nabla_{\mu} - m) \Psi = 0$

Hierbei handelt es sich um die Dirac-Gleichung. Es ist schon jetzt klar, dass die $\gamma^{\mu}$ keine einfachen Zahlen sein können, sondern Matrizen sein müssen. Der Ansatz muss folgende Bedingungen erfüllen:

1. Die $\gamma^{\mu}$ müssen hermitische Matritzen sein, damit sich reelle Eigenwerte ergeben können.

2. Durch "Quadratur" muss sich die Klein-Gordon-Gleichung ergeben.

Wir multiplizieren dazu

$(i \cdot \gamma^{\mu} \nabla_{\mu} + m)$

von links gegen unseren Ansatz und erhalten:

$(i \cdot \gamma^{\mu} \nabla_{\mu} + m)(i \cdot \gamma^{\mu} \nabla_{\mu} - m) \Psi = 0$

oder

$(\gamma^{\mu} \gamma^{\nu} \nabla_{\mu} \nabla_{\nu} + m^2) \Psi = 0$

oder wegen der Symmetrie (Vertauschbarkeit der Ableitungen) auch

$(\frac {1} {2} \cdot(\gamma^{\mu} \gamma^{\nu} + \gamma^{\nu} \gamma^{\mu}) \nabla_{\mu} \nabla_{\nu} + m^2) \Psi = 0$

Damit wir wieder auf die Klein-Gordon-Gleichung kommen können (3.1), muss gelten:

$\frac {1} {2} \cdot(\gamma^{\mu} \gamma^{\nu} + \gamma^{\nu} \gamma^{\mu}) = g^{\mu \nu}$

Eine mögliche Darstellung für diese Antikommutatorbeziehung sind die Diracmatritzen:

$\gamma^{0} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

$\gamma^{1} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$\gamma^{2} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & i & 0 & 0 \\ -i & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$\gamma^{3} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

Wenn die Diracmatritzen 4 X 4 Matrizen sind, muss die Wellenfunktion $\Psi$ eine 4-Komponenten-Wellenfunktion sein (Spinor). Wie gehabt kann man nun eine Viererstromdichte mit positiv definierter Wahrscheinlichkeitsdichte konstruieren. Wir multiplizieren zunächst
$\gamma^{0}$ von links gegen die Diracgleichung 4.1 und erhalten:

4.2 $i \frac {\partial} {\partial t} \Psi = (-i \cdot \gamma^0 \vec {\gamma} \cdot \vec {\nabla} + \gamma^0 m) \Psi = 0$

Wir bilden das (hermitisch)-konjugiert-komplexe und erhalten

4.3 $-i \frac {\partial} {\partial t} \Psi^* = (i \cdot \gamma^0 \vec {\gamma} \cdot \vec {\nabla} + \gamma^0 m) \Psi^* = 0$

Als nächstes wird 4.2 von links mit $\Psi^*$ und 4.3 von rechts mit $\Psi$ und bekommen die bedien Gleichungen

4.4 $i \Psi^* \frac {\partial} {\partial t} \Psi = \Psi^* (-i \cdot \gamma^0 \vec {\gamma} \cdot \vec {\nabla} + \gamma^0 m) \Psi = 0$

und

4.5 $-i \frac {\partial} {\partial t} \Psi^* \Psi = (i \cdot \gamma^0 \vec {\gamma} \cdot \vec {\nabla} + \gamma^0 m) \Psi^* \Psi= 0$

4.4 - 4.5 ergibt endlich

$\frac {\partial} {\partial t} (\Psi^* \Psi) + \vec {\nabla} \cdot (\Psi^* \gamma^0 \vec {\gamma} \Psi) = 0$

Damit haben wir wieder die positiv definite Wahrscheinlichkeitsdichte

$\varrho = \Psi^*\Psi \ge 0$

5. Dirac-Geichung mit elektromagnetischer Wechselwirkung - Eichinvarianz

Die eben gewonnene Wahrscheinlichkeitsdichte ist invariant unter Phasentransformationen:

$\Psi^' = \Psi \cdot e^{i \cdot e \cdot \alpha(\vec {r},t)}$

denn

$\varrho = {\Ps^'}^*{\Psi^'} = \Psi^* \cdot e^{-i \cdot e \cdot \alpha(\vec {r},t)} \cdot \Psi \cdot e^{i \cdot e \cdot \alpha(\vec {r},t)} = \Psi^*\Psi$

Wir wollen nun fordern, dass auch die Dirac-Geichung invariant unter Phasentransformationen ist. Ist $\alpha$ nur eine Zahl, ist die Dirac-Gleichung leicht erkennbar invariant unter diesen spezielle globalen Phasentransformationen. Wir wollen aber mehr, nämlich, dass dei Dirac-Gleichung invariant unter lokalen Eichtransformationen ist (also wenn die Phase explizit abhängig von den Raum-Zeit-Koordinaten ist , wie oben beschrieben, also $\alpha = \alpha(\vec {r},t)}$ ). Wir setzen hierzu

$\Psi = \Psi^' \cdot e^{-i \cdot e \cdot \alpha(\vec {r},t)}$

in die Diracgleichung

$(i \cdot \gamma^{\mu} \nabla_{\mu} - m) \Psi = 0$

ein und erhalten

$( \gamma^{\mu} (i \cdot \nabla_{\mu} + e \cdot \frac {\partial \alpha} {\partial x^{\mu}}) - m) \Psi^' = 0$

Es stört irgendwie der Ableitunsterm nach der Phase $\frac {\partial \alpha} {\partial x^{\mu}}$ . Wir führen deshalb die kovariante Ableitung ein (Achtung, hat nichts mit der kovarianten Ableitungen in der Allgemeinen Relativitätstheorie zu tun):

$D_{\mu} \equiv \nabla_{\mu} + i \cdot e \cdot A_{\mu}$

und versuchen es mit der Diracgleichung und der kovarianten Ableitung noch einmal:

$(i \cdot \gamma^{\mu} D_{\mu} - m) \Psi = (\gamma^{\mu} (i \cdot \ \nabla_{\mu} - e \cdot A_{\mu}) - m) \Psi = (\gamma^{\mu} (i \cdot \nabla_{\mu} - e \cdot A_{\mu} + e \cdot \frac {\partial \alpha} {\partial x^{\mu}}) - m) \Psi = 0$

Wir definieren dass gestrichene (transformierte) Viererpotential

${A_{\mu}}^' \equiv A_{\mu} - \frac {\partial \alpha} {\partial x^{\mu}}$

Damit erhalten wir die komplett gestrichene (transformierte) Dirac-Gleichung

$(\gamma^{\mu} (i \cdot \nabla_{\mu} - e \cdot {A_{\mu}}^') - m) \Psi^' = 0$

Damit hätten wir (fast) gewonnen, denn die gestrichenen (transformierten) Größen (Wellenfunktion und Viererpotential) erfüllen dieselbe Diracgleichung wie die ungestrichenen. Wir müssen nur noch zeigen, dass die Bewegungsgleichungen für das elektromagnetische Viererpotential, also die Maxwellgleichungen

$\nabla_{\mu}F^{\mu \nu} = 0$

invariant unter den Transformationen

${A_{\mu}}^' = A_{\mu} - \frac {\partial \alpha} {\partial x^{\mu}}$

sind. Hierzu reicht es zu zeigen, dass der Feldstärketensor:

$F_{\mu \nu} = \nabla_{\mu} A_{\nu} - \nabla_{\nu} A_{\mu}$

invariant ist. Wir setzen ein:

$F_{\mu \nu} = \nabla_{\mu} A_{\nu} - \nabla_{\nu} A_{\mu} = \nabla_{\mu} ({A_{\nu}}^' + \frac {\partial \alpha} {\partial x^{\nu}}) - \nabla_{\nu} ({A_{\mu}}^' + \frac {\partial \alpha} {\partial x^{\mu}}) = \nabla_{\mu} {A_{\nu}}^' + \frac {\partial^2 \alpha} {\partial x^{\nu} \partial x^{\mu}} - \nabla_{\nu} {A_{\mu}}^' - \frac {\partial^2 \alpha} {\partial x^{\mu} \partial x^{\nu}} = \nabla_{\mu} {A_{\nu}}^' - \nabla_{\nu} {A_{\mu}}^' = {F_{\mu \nu}}^'$

Damit ist alles gezeigt. Sowohl die Dirac-Gleichung als auch die Maxwell-Gleichungen sind invariant unter den Transformationen. Die Forderung nach lokaler Eichinvarianz verlangt also die Einführung einer Wechselwirkung (im Falle der U(1)-Transformationen die elektromagnetische Wechselwirkung).

Bevor wir zur nichtrelativistischen Näherung der Dirac-Gleichung mit elektromagnetischer Wechselwirkung kommen, die in die Schrödinger-Gleichung mündet, noch kurz ein Verfahren, wie man sehr einfach zu Feldstärketensoren gelangen kann und zwar nicht nur für die elektromagnetische Wechselwirkung sondern für alle (Elektroschwache, Starke und Gravitation).

Siehe hierzu auch:

http://www.einsteins-erben.de/erben2.php?men=erb

Mit Hilfe des Kommutators kommt man schnell zum gewünschten Ergebnis:

$[D_{\mu}, D_{\nu}] = [\nabla_{\mu} + i \cdot e \cdot A_{\mu}, \nabla_{\nu} + i \cdot e \cdot A_{\nu}] = \nabla_{\mu} \nabla_{\nu} + i \cdot e \nabla_{\mu} A_{\nu} - \nabla_{\nu} \nabla_{\mu} - i \cdot e \cdot \nabla_{\nu} A_{\mu}) = i \cdot e (\nabla_{\mu} A_{\nu} - \nabla_{\nu} A_{\mu}) = i \cdot e \cdot F_{\mu \nu}$

6. Zurück zu Schrödinger

Wir wollen nun den Weg zurück zur Schrödinger-Gleichung gehen. Wir gehen hierbei von der Dirac-Gleichung mit elektromagnetischer Wechselwirkung aus:

$(\gamma^{\mu} (i \cdot \nabla_{\mu} - e \cdot A_{\mu}) - m) \Psi = 0$

Hierfür formen wir das ganze ein wenig um. Zunächst sortieren wir die Gleichung um und schreiben die Zeitableitung ganz nach links und multiplizieren $\gamma^0$ ebenfalls von links (wie wir es von Schrödinger kennen) und erhalten:

$i \cdot \frac{\partial}{\partial t} \Psi = (\gamma^0 \vec {\gamma} (-i \cdot \vec {\nabla} - e \cdot \vec {A}) + e \cdot V + \gamma^0 m) \Psi$

Zur Erinnerung, V ist das Coulumbpotential. Nun schreiben wir die Diracmatritzen um:

$\gamma^{0} \gamma^{1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} 0 & \sigma_1 \\ \sigma_1 & 0 \end{pmatrix}$

$\gamma^{0} \gamma^{2} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & i & 0 & 0 \\ -i & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & -i & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} 0 & \sigma_2 \\ \sigma_2 & 0 \end{pmatrix}$

$\gamma^{0} \gamma^{3} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} 0 & \sigma_3 \\ \sigma_3 & 0 \end{pmatrix}$

Wobei die Nullen in der Matrix nach dem Definitionszeichen selbst 2 X 2 Nullmatritzen sind und die $\vec \sigma$ sind die 2 X 2 Paulimatritzen. Damit erhalten wir:

$i \cdot \frac{\partial}{\partial t} \Psi = (\begin{pmatrix} 0 & \vec \sigma \\ \vec \sigma & 0 \end{pmatrix} (-i \cdot \vec {\nabla} - e \cdot \vec {A}) + e \cdot V + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} m) \Psi$

Man beachte, dass die 0 und 1 in den 2 X 2 Matrizen ebenfalls 2 X 2 Matritzen sind (die 1 ist die 2 X 2 Einheitsmatrix und die 0 die 2 X 2 Nullmatrix).

Dann erseten wir den Viererspinor $\Psi$ durch zwei Zweierspinoren und spalten gleich die Ruhemasse ab:

$\Psi = \begin{pmatrix} \phi \\ \chi \end{pmatrix} \cdot e^{-i \cdot m \cdot t}$

Damit ergibt sich das Gleichungssystem:

$i \cdot \frac{\partial}{\partial t} \begin{pmatrix} \phi \\ \chi \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \vec \sigma \cdot (-i \vec {\nabla} - e \cdot \vec {A} )\chi \\ \vec \sigma \cdot (-i \vec {\nabla} - e \cdot \vec {A}) \phi \end{pmatrix} + e \cdot V \begin{pmatrix} \phi \\ \chi \end{pmatrix} -2m \begin{pmatrix} 0 \\ \chi \end{pmatrix}$

Betrachten wir zunächst den unteren teil der Gleichung und ordnen die Terme der Größe nach. Da wir den Hauptenergieteil mit der Ruhemasse abgespalten haben, sind kinetische und potentielle Energie klein gegenüber der Ruheenergie, also

$\mid i \cdot \frac{\partial}{\partial t} \chi \mid \ll \mid m \cdot \chi \mid$

und

$\mid e \cdot V \chi \mid \ll \mid m \cdot \chi \mid$

D.h. in gröbster Näherung bleibt unten übrig:

$\chi = \frac {\vec \sigma \cdot (-i \vec {\nabla} - e \cdot \vec {A} )\phi}{2 \cdot m}$

Mit dem Ergebnis erhalten wir für die obere Gleichung:

6.1 $i \cdot \frac{\partial}{\partial t} \phi = \frac {(\vec \sigma \cdot (-i \vec {\nabla} - e \cdot \vec {A}))^2} {2 \cdot m} \phi + e \cdot V \phi$

Das Ergebnis erinnert schon sehr stark an die Schrödinger-Gleichung. Um hier weiter kommen zu können, müssen wir ein wenig Matrixgymnastik betreiben und schauen uns die Paulimatritzen näher an. Es gilt die Relation:

$(\vec \sigma \cdot \vec A) \cdot (\vec \sigma \cdot \vec B) = \vec A \cdot \vec B + i \cdot \vec \sigma \cdot (\vec A \times \vec B)$

Mit anderen Worten, das Ergebnis ist das Skalarprodukt zwischen den Vektoren A und B plus i mal dem Skalarprodukt des Paulimatrizenvektors mit dem Vektorprodukt von A und B. Das kann jeder als kleine Übung mal zwischendurch rechnen. Damit verarzten wir:

$(\vec \sigma \cdot (-i \vec {\nabla} - e \cdot \vec {A}))^2 = (-i \vec {\nabla} - e \cdot \vec {A})^2 + i \cdot \vec \sigma [(-i \vec {\nabla} - e \cdot \vec {A}) \times (-i \vec {\nabla} - e \cdot \vec {A}) ] = (-i \vec {\nabla} - e \cdot \vec {A})^2 - e \cdot \vec \sigma \cdot (\vec \nabla \times \vec A) = (-i \vec {\nabla} - e \cdot \vec {A})^2 -e \cdot \vec \sigma \cdot \vec B$

Hierzu zwei Anmerkungen. Die Rotation vom Vektorpotential A ergibt das magnetfeld B und, der Nabla-Operator "frisst" sich durch. Dies ist so zu verstehen, dass der gesamte Ausdruck immer noch auf eine Wellenfunktion wirkt und stets in Abhängigkeit der Position des Nablaoperators durchdifferenziert werden muss (Produktregel). Wir setzen das Ergebnis in 6.1 ein und erhalten:

6.2 $i \cdot \frac{\partial}{\partial t} \phi = \frac {(-i \vec {\nabla} - e \cdot \vec {A})^2 -e \cdot \vec \sigma \cdot \vec B} {2 \cdot m} \phi + e \cdot V \phi$

Für schwache, homogene (konstante) Magnetfelder gilt:

$\vec A = \frac {1}{2} \vec B \times \vec r$

denn

$\vec \nabla \times \vec A = \frac {1}{2} \vec \nabla \times (\vec B \times \vec r) = \frac {1}{2} \vec \nabla \times (\vec B \times \vec r) = \frac {1}{2} \begin{pmatrix} \frac {\partial}{\partial x} \\ \frac {\partial}{\partial y} \\ \frac {\partial}{\partial z} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} z \cdot B_2 - y \cdot B_3 \\ x \cdot B_3 - z \cdot B_1 \\ y \cdot B_1 - x \cdot B_2 \end{pmatrix} = \frac {1}{2} \begin{pmatrix} \frac {\partial}{\partial y} (y \cdot B_1 - x \cdot B_2) - \frac {\partial}{\partial z} (x \cdot B_3 - z \cdot B_1) \\ \frac {\partial}{\partial z} (z \cdot B_2 - y \cdot B_3) - \frac {\partial}{\partial x} (y \cdot B_1 - x \cdot B_2) \\ \frac {\partial}{\partial x} (x \cdot B_3 - z \cdot B_1) - \frac {\partial}{\partial y} (z \cdot B_2 - y \cdot B_3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} B_1 \\ B_2 \\ B_3 \end{pmatrix} = \vec B$

Das homogene Magnetfeld setzen wir in 6.2 ein und erhalten

6.3 $i \cdot \frac{\partial}{\partial t} \phi = \frac {1}{2m} ((-i \vec \nabla - \frac {e}{2} \vec B \times \vec r)^2 -e \cdot \vec \sigma \cdot \vec B) \phi + e \cdot V \phi$

Wir berechnen nun noch

$(-i \vec \nabla - \frac {e}{2} \vec B \times \vec r)^2 \approx -\triangle + i \cdot e \cdot (\vec B \times \vec r) \cdot \vec \nabla$

und setzen das in 6.3 ein (wir haben den quadratischen Term in B vernachlässigt, da wir nur schwache Magnetfelder betrachten):

6.4 $i \cdot \frac{\partial}{\partial t} \phi = \frac {1}{2m} (- \triangle + i \cdot e \cdot (\vec B \times \vec r) \cdot \vec \nabla -e \cdot \vec \sigma \cdot \vec B) \phi + e \cdot V \phi$

Wir sind fast am Ziel. Wir bearbeiten zunächst:

$i \cdot (\vec B \times \vec r) \cdot \vec \nabla = \begin{pmatrix} B_2 \cdot z - B_3 \cdot y \\ B_3 \cdot x - B_1 \cdot z \\ B_1 \cdot y - B_2 \cdot x \end{pmatrix} \cdot \vec \nabla = i \cdot ( (B_2 \cdot z - B_3 \cdot y) \frac {\partial}{\partial x} + ( B_3 \cdot x - B_1 \cdot z) \frac {\partial}{\partial y} + (B_1 \cdot y - B_2 \cdot x) \frac {\partial}{\partial z} ) = i \cdot ( B_1 \cdot (y \frac {\partial}{\partial z} -\cdot z \frac {\partial}{\partial y}) + B_2 \cdot (z \frac {\partial}{\partial x} -\cdot x \frac {\partial}{\partial z}) + B_3 \cdot (x \frac {\partial}{\partial y} -\cdot y \frac {\partial}{\partial x})) = - \vec B \cdot (\vec r \times (-i \vec \nabla)) = - \vec B \cdot \widehat {\vec L}$

Dabei ist $\widehat {\vec L}$ der Drehimpulsoperator. Wir definieren noch den Spinoperator:

$\widehat {\vec S} \equiv \frac {1}{2} \vec \sigma$

Warum macht das Sinn? Berechnen wir die Eigenzustände bezüglich der Z-Ausrichtung des Spins mit den Eigenvektoren (1,0) und (0,1):

$\widehat {S_3} = \frac {1}{2} \sigma_3 = \frac {1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

also

$\frac {1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = + \frac {1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

und

$\frac {1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = - \frac {1}{2} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

Die beiden Zustände geben also die Ausrichtung des Elektronenspins mit +/- 1/2 in z-Richtung wieder. Damit und mit dem Bahndrehimpuls erhalten wr endlich die Schrödinger-Gleichung mit elektromagnetscher Spin-Bahn-Wechselwirkung.

$i \cdot \frac{\partial}{\partial t} \phi = (-\frac {1}{2m} \triangle - \frac {e}{2m} \cdot \vec B \cdot (\widehat {\vec L} + 2 \cdot \widehat {\vec S}) + e \cdot V) \phi$

Diese Form der Schrödingergleichung mit Spin-Bahn-Wechselwirkung für Spin-1/2-Teilchen war auch schon lange vor der Diracgleichung bekannt. Man kann nun auch so argumentieren, dass der Grenzfall ein beweis dafür ist, dass die Diraggleichung Spin-1/2-Teilchen beschreibt. Bemerkenswert ist auch der Faktor 2 (g-Faktor), der vor dem Spinoperator steht. Vor Dirac musste dieser willkürlich hinzugefügt werden, um mit dem experiment konform zu sein. Dirac liefert diesen Faktor zwanglos.

Ich haben fertig Big Grin

Gilt für $\vec{\gamma}$ aus (4.2)
$\vec{\gamma}\equiv(\gamma^0,\gamma^1,\gamma^2,\gamma^3)$
?

Nein, es gilt:

$\vec{\gamma}\equiv(\gamma^1,\gamma^2,\gamma^3)$

Das $\gamma^0$ steckt auf der linken Seite (Zeitableitung) von 4.2 und hat sich quasi selbst eliminiert, da gilt:

$({\gamma^0})^2 = 1$

wobei 1 die 4 X 4 Einheitsmatrix ist.

Hallo Boris!

Diesen Thread finde ich hervorragend; es gibt dicke Lehrbücher nach deren Lektüre man weniger weiss als nach Durcharbeiten Deines Beitrags.

---

Ich versuch immer wieder tensorielle Formulierungen auf das zurückzuführen was ich in den Mathekursen gelernt habe, deshalb hierzu

(28.09.2009 08:13)Einsteins-Erben schrieb: [ -> ]der Feldstärketensor:
$F_{\mu \nu} = \nabla_{\mu} A_{\nu} - \nabla_{\nu} A_{\mu}$

die Frage

könnte man den Feldstärketensor $F_{\mu \nu}$ auch mittels der (4x4) Jacobi-Matrix $\mathcal{J}$ von $\vec{A}(t,\vec{r})$
$\vec{A}(t,\vec{r}): \mathbb{R}^4\rightarrow \mathbb{R}^4$
so
$F = \mathcal{J} - \mathcal{J}^T$
anschreiben?

---

Desweiteren:

Diesen Op

(28.09.2009 08:13)Einsteins-Erben schrieb: [ -> ] $\widehat {E} = \frac {1} {2m} \widehat {\vec{p}}^2 + V$

kenn ich aus der QM.

Aber der hier

(28.09.2009 08:13)Einsteins-Erben schrieb: [ -> ] $\widehat {E}=i \cdot \hbar \cdot \frac {\partial} {{\partial (c \cdot t)}} \equiv i \cdot \frac {\partial} {{\partial t}}$

ist doch nur eine (partielle) Zeitableitung.

Wie hängen die jetzt zusammen?

Grüsse,

Solkar

Danke erst einmal fürs Lob Cool

Ich versuche so vieles wie einfach wie möglich zu beschreiben, aber nicht einfacher Smile

Ich muss auch noch hier hinzufügen, dass ich sicherlich einige Passagen genauer beschreiben könnte/müsste, aber dann würde dieser Beitrag zu lang werden. Der Scrollbalken soll ja nicht ins unsichtbare Zusammenschrumpfen. Es soll ja auch nur ein Weg skizziert werden. Bestimmt schleicht sich hier und da mal ein Schreib- oder Minusfehler ein, bitte macht mich darauf aufmerksam.

Zu Deinen Fragen.

Natürlich kann man den Feldstärketensor auch mit Hilfe der Jacobi-Matrix formulieren. Und zu den Operatoren:

$\widehat {E}$

ist ja nur eine "Operatorvariable", also ein E mit einem Dach darüber. Um damit rechnen zu können, muss man die Operatoren durch die entsprechenden Differentialoperatoren ersetzen. Es gilt also z.B.

$\widehat {E}$

wird ersetzt durch

$i \cdot \frac {\partial} {{\partial t}}$

Manchmal bleiben die Größen aber auch so wie sie sind, z.B. der Ortsoperator

$\widehat {\vec r}=\vec r$

Hallo Boris
Danke für die sehr kompakte und schöne Herleitung.
Ich habe aber paar fragen zu der Mathematik.
Siehe PDF Dokument.

Danke Eli

Danke :-)

Alsooo, zu Deinen Fragen:

Wenn wir bilden:

$\nabla^{\mu}[\Psi^* \nabla_{\mu} \Psi - \Psi \nabla_{\mu} \Psi^* ]$

und ausdiffernzieren (ACHTUNG PRODUKTREGEL), erhalten wir:

$\nabla^{\mu}\Psi^* \nabla_{\mu} \Psi - \nabla^{\mu}\Psi \nabla_{\mu} \Psi^* + \Psi^* \nabla^{\mu} \nabla_{\mu} \Psi - \Psi \nabla^{\mu} \nabla_{\mu} \Psi^*$

oder

$= \Psi^* [\nabla_{\mu} \nabla^{\mu}] \Psi - \Psi [\nabla_{\mu} \nabla^{\mu}] \Psi^*$

Bezüglich der Dimensions habe ich Deine Frage nicht ganz verstanden. Meinst Du die Dimension der Diracmatritzen bzw. Wellenfunktion (dass da was nicht zusammenpasst)?

Gruß Boris

hi boris
o.k das habe ich verstanden.
also ist mein Beispiel in dem doku. mit $\nabla_1=\frac{\partial}{\partial x}$ false?

Dimension meine ich folgendes:
es muss am ende skalare gleichung für die dichte sein, ich arbeite mit matrizen und vektoren (Dimension 4x4, 4x1) usw und beim ausmultiplizieren
kommt (1x1) also skalar.
In dem Pdf doku habe ich faktor 2, meine gleichung ist andere? als deine gleichung?, vergleich die zwei letzte gleichungen

Gruß eli

Hi Eli,

es spielt prinzipiell keine Rolle, ob man das Ganze eindimensional (d/dx) oder mehrdimensional betrachtet. Dein Beispiel war insofern nicht richtig, weil die Produktregel nicht berücksichtigt wurde.

Erst einmal richtig, die Wahrscheinlichkeitsdichte ist ein Skalar und das kommt auch so raus (ich habe auf die Genauigkeit der Darstellung von Zeilen- und Spaltenvektor verzichtet). Betrachtet man

$\frac {\partial} {\partial t} (\Psi^* \Psi) + \vec {\nabla} \cdot (\Psi^* \gamma^0 \vec {\gamma} \Psi) = 0$

Und differenziert den zweiten Term (Ortsableitungen = Nablaoperator) wieder unter Berücksichtigung der Produktregel aus, kommt man zu 4.3 und 4.4 (wenn 4.3 und 4.4 subtrahiert werden). Ein Faktor 2 wäre falsch.

Gruß Boris

Hi Boris
1) es stimmt ich habe fehler beim differenzieren (produkt regel)
2) Aber auf faktor 2 ist immer noch da,ich sehe in meine berechnung kein fehler?

grüße
eli

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