Einsteins-Erben Forum

Hi,
Ich bin wohl der erste hier in diesem Forum Ich bin schon seit längerem auf dieser Seite unterwegs und versuch jeden Tag etwas mehr von all den Informationen hier zu verstehen und zu erlernen. Echt super gemacht die Seite übrigens. So nun bin ich mehr oder weniger einfach am hängen. Ich habe mir um die ART endlich mal angehen zu können ein Buch Tensoranalysis von Heinz Schade gekauft und angefangen dies zu lesen. (Die Tensoralgebra ist dort auch enthalten).

Nun habe ich auch begriffen, dass unter dem Menüpunkt 'Tensorrechnung' stillschweigend die Summenkonvention über niedriggestellte und hochgestelle indizes stattfindet. Das steht zwar hier erklärt, aber irgendwie realisiert man dies kaum wenn man sich mit der Thematik nicht wirklich beschäftigt.

Naja aufjedenfall ist mir aber aufgefallen, dass dies in dem Buch anders definiert ist. Hier wird einfach beliebig auch über untenstehende Indizes wie z.b AiAi oder AiAj aufsummiert. Das stiftet irgendwie Verwirrung. Ist das Definitionssache? oder darf man die Indizes hochsetzen wann man möchte um das besser kenntlich zu machen?

Das Buch ist ziemlich Komplex und ich hab noch nicht viel gelesen aber irgendwie scheint sich das zu unterscheiden? Vielleicht liegt dies auch daran, dass es großteils für Ingeneurwesen ausgelegt ist?

Sind die Tensoren in der Physik anders zu behandeln? Sorry aber bin da grad momentan noch Einsteiger

Wäre für einen Tipp dankbar

LG Terra

Hallo Terra,

herzlich willkommen erst einmal in meinem neuen Forum, in der Tat sind wir noch zu zweit, aber ich hoffe, demnächst wird das Forum wachsen und gedeihen. Zu Deiner Frage:

Es ist eher üblich, dass man, schon alleine der Übersicht halber, oben und unten-stehende Indizes aufsummiert, gerade um Verwirrung zu vermeiden. Natürlich kann man sich alles mögliche definieren, die Frage ist nur oft, ob es sinnvoll ist. Ich kenne Dein Buch nicht, habe mir damals viel Tensorrechnung mit einem anderen hübschen kleinen Buch angeeignet, welches aus der Ingenieursecke stammt (man sieht, Physiker und Ingenieure können durchaus miteinander ):

Tensorrechnung für Ingenieure von e. Klingbeil.

Vielleicht ist es ja auch was für Dich.

Beste Grüße

Boris

Hi und Danke für die Antwort hab mir gleich mal das Buch bestellt, is ja nich nur für die Seite sinnvoll sondern diese Thematik zieht sich ja großteils durch sehr viele Gebiete vondemher kann man da nichts falsch machen.

Ok, das dadurch Verwirrung vermieden wird ist klar und ist auch schön anschaulich. Ich hatte das jetzt mal so hingenommen bis mir letzt aufgefallen ist das im

Kapitel 'Relativistische Mechanik'



aber weiter unten ist



Mein Problem liegt bei dem Minus also "-c^2 dt^2"

Wenn ich die Summenkonvention anwende über die dx^mu Komponenten, Tupel, Spaltenmatrix so wie es beim Kapitel Tensorrechnung definiert ist, komm ich nicht auf das Minus.

mit dem g mu nu Metriktensor ist mir das klar warum dann so aufsummiert wird aber warum hier? gibt es da eine spezielle Vorschrift?

Oder ist das einfach zur Veranschaulichung gedacht?

LG Terra

Das erste Beispiel mit



sollte nur demonstrieren, dass dieser Ansatz nicht lorentzinvariant ist, also nicht zum Ziel führt. Richtig und lorentzinvariant ist aber



Vielleicht hätte ich beim falschen Ansatz auch die Indizes oben und unten schreiben sollen, um Verwirrung zu vermeiden, allerdings wäre zwar die Summenkonvention richtig, aber nicht die mit der Summenkonvention einhergehende Invarianz des Ergebnisses.

Auf das -c^2*dt^2 kommt man schon. Summenkonvention bedeutet nicht einfach Aufsummieren der Vektorkomponenten, sondern die Verknüpfung derer mit den entsprechenden Metriktensorkomponenten und der ist in diesem Fall

diagonal(1,1,1,-1)

D.h. die Raumkomponenten und zum Schluss die Zeitkomponente sind

ds^2 = 1*dx*dx + 1*dy*dy + 1*dz*dz - 1*c^2*dt*dt

Nimmt man die Zeitkomponente weg, hat man das "normale" Skalarprodukt, wo man heimlich die 1 immer verschweigt. Im Allgemeinen können die Metriktensorkomponenten aber auch von den Koordinaten abhängen, siehe hierzu z.B.:

http://www.einsteins-erben.de/wegelement.php?men=rel

Ok, ich glaube ich sollte wohl doch eher auf das Buch warten.

Vielen dank für die Erklärung und ich hoffe, dass ich hier niemanden mit solchen Anfängerfragen entnerve.
Wenns so is dann bescheid sagen und ich lass es

Allerdings bleibt es für mich trotzdem noch unklar. Mich stört es grundlegenend eigentlich nur, dass

dx^mu dx_mu = g_(mu nu) dx^mu dx^nu

gilt und das bei bei der exakten Anwendung der Summenkonvention nach deren definition eben nicht gleich sein dürfen.

das dx^mu dx_mu dem g_(mu nu) dx^mu dx^nu gleich sein SOLLTE ist mir schon klar deswegen kommt man ja auch schlussendlich auf g_(mu nu) dx^mu dx^nu,
aber laut Summenkonvention ist dies nicht der Fall, da mit ihr ja genau die einzelnen Vektorkomponenten aufsummiert werden ohne den Metriktensor miteinzubeziehen.

so wie hier: ds^2 = 1*dx*dx + 1*dy*dy + 1*dz*dz - 1*c^2*dt*dt -> dort ist ja der Metriktensor miteinbezogen.

Um meine Frage vielleicht noch zu präzisieren:

Mir ist klar das: dx^mu dx_mu gleich 1*dx*dx + 1*dy*dy + 1*dz*dz - 1*c^2*dt*dt ergeben SOLL, deswegen wird der Metriktensor dazugezogen um dieses Ergebnis zu erreichen aber
dx^mu dx_mu (ist nach summenkonvention) = dx*dx + dy*dy + dz*dz + c^2*dt

Ich kanns einfach nicht sehen, sorry. Ich hab jetzt fast alles versucht um das herauszufinden aber ich kanns einfach nicht sehen

LG Terra

keine Angst, das sind durchaus berechtigte Fragen, wenn man in die Tensorgewässer eintaucht und dafür habe ich das Forum ja auch eingerichtet.

Im Grunde sehe ich, dass Dich nur formelle Schreibweisen stören, das ist reine Gewöhnungssache und geht jedem so, der anfängt mit Tensoren zu jonglieren.

dx^mu dx_mu = g_(mu nu) dx^mu dx^nu

das ist in der Tat identisch und leicht zu erklären. Mit Hilfe des Metriktensors g_(mu nu) kann man einen Index herunterziehen, also

dx_mu = g_(mu nu) dx^nu

das ist alles, im Grunde reine Definitionssache im Umgang mit ko- und kontravarianten Tensorindizes. Du musst beachten, dass nicht immer einfach aufsummiert wird wie z.B.:

dx^mu dx_mu = dx^2 + dy^2 usw.

Im Allgemeinen sind die ko- und kontravarianten Komponenten nicht gleich, also dx oben nicht gleich dx unten (etwas unsauber gesagt). Vielleicht ein konkretes Beispiel anhand der Zeitdifferenz dt. Kontravariant (also mit Index oben) ist dx^4 = dt und kovariant ist dx_4 = - dt (MINUS ZEICHEN). Bei Beachtung der Summenkonvention ergibt sich an der Stelle der Zeitkomponente also

... + dx^4 dx_4 = dt *(-dt) = -dt^2

Habe mal das c weggelassen, was man gerne in der Tensorrechnung tut.

Ok, ich hab jetzt mal wieder rumprobiert und bin nur so auf die lösung gekommen:

dx_mu = g_(mu nu) dx^nu
dx_mu = (1 0 0 0)*dx^1 + (0 1 0 0) * dx^2 + (0 0 1 0) * dx^3 + (0 0 0 -1) * dx^4

stimmt das so das dies daher kommt?

dadurch kommt das zustande. Aber dazu musste man ja den Metriktensor kennen.
Der allerdings erst danach eingeführt wird viell hab ichs deswegen nich kapiert? (falls ichs jetzt kapiert hab)

Die einzig andere Möglichkeit die ich gefunden habe war das kontravariante Tensoren irgendwie was mit Dualraum zu tun haben?
aber das war mir dann doch irgendwie zu abgehoben...

lg terra

So kann man es schreiben. Wenn Du jetzt ko- und kontravariant nach Summenkonvention aufsummierst, kommst Du unter Berücksichtigung der verschiedenen Vorzeichen der vierten (Zeit)Komponenten von ko- und kontravariant auf das richtige Ergebnis.

Wenn man so will, ist die Diagonalform des Metriktensors für kartesische Koordinaten Definitionssache. Man kann so herangehen, dass man sagt, ich kenne die Lorentztransformationen und bilde damit die richtige Diagonalform des Metriktensors. Dies ist dann Ausgangspunkt für alle transformierten Metriktensoren (wenn man z.B. krummlinige Koordinaten nimmt, wie z.B. Kugelkoordianten oder Gravitationsfelder hat).

Ok, dann hat sich das ja erstmal erledigt. Vielen dank für die viele Hilfe

Hallo alle!
Ich habe ein paar Anfängerfragen. Nicht böse sein, ich bin erst in der 10. Klasse und mir fehlt noch z. T. das mathematische Verständnis.
Also was Tensoren sind, habe ich inzwischen verstanden. Aber irgendwie steht nirgendwo so richtig erklärt, was kovariante und kontravariante Tensoren sind. Außerdem ist mir überhaupt nicht klar, welche mathematische Bedeutung eine Ableitung eines Tensors hat. Wie kann ich das mathematisch interpretieren?
Ich stehe noch ziemlich am Anfang der ART, die spezielle habe ich schon relativ gut verstanden.
Totzdem habe ich noch eine Frage dazu:
Beim Viererimpuls steht in einem Anhang eines Beitrag (3-Dimensional in SRT), dass
p^mu=(ym_0*v , ym_0*c) und dann später
p^mu*p_mu=(p->)^2-(p_4)^2
Da setzt mein mathematisches Verständnis leider schon aus...
Gruß
Lorenz